Matematyka

Matematyka na czasie! 3 (Podręcznik, Nowa Era )

Z drutu o długości 192 cm wykonano szkielety... 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Z drutu o długości 192 cm wykonano szkielety...

10
 Zadanie

11
 Zadanie

12
 Zadanie
1
 Zadanie
2
 Zadanie

Sześcian ma `12` krawędzi o długości `a.` Czworościan ma `6` krawędzi o długości `2a.` Obliczamy długości krawędzi:

`12a+6*2a=192`  

`12a+12a=192` 

`24a=192\ "/":24`  

`a=8\ "cm"`      

`2a=16\ "cm"`  

Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Należy wpisać P.

 

Obliczamy objętość sześcianu:

`V_1=8^3=512\ "cm"^3`     

Do obliczenia objętości czworościanu przyda nam się rysunek pomocniczy:

Przypomnijmy, że jeżeli ostrosłup jest czworościanem foremnym, to wówczas podstawą ostrosłupa jest

trójkąt równoboczny, a spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta z podstawy na odcinki o długościach

równych odpowiednio `2/3h` i `1/3h,` licząc od wierzchołka. Skorzystamy z tej informacji przy wyznaczaniu wysokości

ostrosłupa. Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `ASW:` 

`(2/3h)^2+H^2=(2a)^2`  

`(2/3*(2asqrt3)/2)^2+H^2=4a^2` 

`2/3a^2+H^2=4a^2` 

`H^2=10/3a^2` 

`H=asqrt(10/3)=(asqrt30)/3` 

`H=(8sqrt30)/3\ "cm"`     

Obliczamy pole podstawy czworościanu:

`P_p=((2a)^2sqrt3)/4` 

`P_p=64sqrt3\ "cm"^2`   

Obliczamy objętość czworościanu:

`V_2=1/3P_pH` 

`V_2=1/3*64sqrt3*(8sqrt30)/3=(512sqrt30)/9\ "cm"^3`    

Obliczamy, jaką część objętości sześcianu stanowi objętość czworościanu:

`V_2/V_1=((512sqrt30)/9)/512=sqrt30/9`  

Drugie zdanie jest fałszywe. Należy wpisać F.

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej sześcianu:

`P_(c_1)=6a^2`  

`P_(c_1)=6*8^2=6*64=384\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej czworościanu:

`P_(c_2)=4P_p` 

`P_(c_2)=4*64sqrt3=256sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy stosunek pola powierzchni całkowitej czworościanu do pola powierzchni całkowitej sześcianu:

`P_(c_2)/P_(c_1)=(256sqrt3)/384=(2sqrt3)/3`     

Trzecie zdanie jest fałszywe. Należy wpisać F.

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 
Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie