$A-\text{wybrano zbioˊr A}$  

$B-\text{wybrano zbioˊr B}$  

$C-\text{wylosowano liczbę, ktoˊrej kwadrat daje resztę 6 z dzielenia przez 10}$  

Wybieramy losowo 1 z 2 zbiorów:

$P\left(A\right)=P\left(B\right)=\frac{1}{2}$  

 

Przeanalizujmy kilka kolejnych liczb naturalnych - ich reszty z dzielenia przez 10, ich kwadraty oraz reszty z dzielenia przez 10 tych kwadratów. 

$\text{liczba}$	$\text{reszta z dzielenia}$   $\text{liczby przez 10}$	$\text{kwadrat liczby}$	$\text{reszta z dzielenia}$   $\text{kwadratu przez 10}$
$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$2$	$4$	$4$
$3$	$3$	$9$	$9$
$4$	$4$	$16$	$6$
$5$	$5$	$25$	$5$
$6$	$6$	$36$	$6$
$7$	$7$	$49$	$9$
$8$	$8$	$64$	$4$
$9$	$9$	$81$	$1$
$10$	$0$	$100$	$0$
$11$	$1$	$121$	$1$
$12$	$2$	$144$	$4$
$13$	$3$	$169$	$9$

 

Zauważmy, że przy resztach z dzielenia przez 10 kwadratów otrzymujemy kolejno reszty: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 i cykl zaczyna się powtarzać. Reszta z dzielenia kwadratu danej liczby przez 10 jest równa 6, jeśli ta liczba przy dzieleniu przez 10 daje resztę 4 lub 6. Są to liczby, których cyfra jedności jest równa 4 lub 6. 

Liczby należące do zbioru A, których cyfra jedności wynosi 4 lub 6, to: 4, 6, 14, 16, 24, 26, 34, 36, 44, 46, 54, 56 - jest 12 takich liczb. 

Wszystkich liczb w zbiorze A jest 56. 

$P\left(C\mid A\right)=\frac{12}{56}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$  

 

Liczby należące do zbioru B, których cyfra jedności wynosi 4 lub 6 to: 4, 6, 14, 16, ..., 164, 166, 174 - takich liczb jest 35. (Mamy 17 pełnych dziesiątek - od 1 do 169, w każdej z tych dziesiątek mamy 2 liczby - z 4 lub z 6 na końcu, dodatkowo mamy jeszcze liczbę 174). 

Do zbioru B należą 175 liczby. 

$P\left(C\mid B\right)=\frac{35}{175}=\frac{1}{5}$    

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

$P\left(C\right)=P\left(C\mid A\right)\cdot P\left(A\right)+P\left(C\mid B\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{3}{14}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{28}+\frac{1}{10}=\frac{30}{280}+\frac{28}{280}=\frac{58}{280}=\frac{29}{140}$