Wiemy, że kooperanci I i II dostarczają tyle samo lamp (oznaczmy jako x), a kooperant III dostarcza dwa razy więcej niż każdy z pozostałych (oznaczamy więc 2x). Wiemy, że kooperantów jest tylko trzech. Możemy zapisać równanie:

$x+x+2x=100\%$  

$4x=100\%\mid :4$  

$x=25\%$  

$2x=2\cdot 25\%=50\%$  

 

Wiemy już, jaki jest udział w dostawie kolejnych kooperantów. Wprowadźmy oznaczenia:

$I-\text{lampa pochodzi od pierwszego kooperanta}$   

$II-\text{lampa pochodzi od drugiego kooperanta}$

$III-\text{lampa pochodzi od trzeciego kooperanta}$  

 

$P\left(I\right)=P\left(II\right)=25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$  

$P\left(III\right)=50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$  

 

$A-\text{lampa sˊwieci kroˊcej, niz˙ przewiduje czas podany w specyfikacji}$  

$P\left(A\mid I\right)=80\%=\frac{80}{100}=\frac{4}{5}$  

$P\left(A\mid II\right)=60\%=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$  

$P\left(A\mid III\right)=40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$  

---

$\text{a)}$  

$P\left(A\right)=P\left(A\mid I\right)\cdot P\left(I\right)+P\left(A\mid II\right)\cdot P\left(II\right)+P\left(A\mid III\right)\cdot P\left(III\right)=$  

$=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=$  

$=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}+\frac{2}{10}=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}+\frac{4}{20}=\frac{11}{20}$  

---

$\text{b)}$  

$P\left(A\mid I\right)\cdot P\left(I\right)+P\left(A\mid II\right)\cdot P\left(II\right)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}=\frac{7}{20}$  

---

Uwaga 

W podręczniku podano błędną odpowiedź: 0,7 - zamiast mianownika 20 wzięto mianownik 10.