Rozpatrzymy dwa przypadki. Pierwszy z nich to ten, gdy oba losy wygrywające znajdują się w jednej urnie.

Drugi przypadek to ten, gdy w każdej urnie znajduje się po jednym losie wygrywającym. 

 

Pierwszy przypadek 

Wprowadźmy oznaczenia:

$x+2-\text{ilosˊcˊ losoˊw w pierwszej urnie}$  

$100-\left(x+2\right)=98-x-\text{ilosˊcˊ losoˊw w drugiej urnie}$  

W pierwszej urnie znajduje się więc x losów niewygrywających oraz 2 losy wygrywające. W drugiej urnie znajduje się 98-x losów, żaden z nich nie wygrywa. 

W treści zadania podano, że w każdej urnie muszą znajdować się co najmniej 2 losy, więc muszą być spełnione nierówności:

$\{\begin{array}{l}x+2\ge 2\mid -2\\ 98-x\ge 2\mid -98\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ -x\ge -96\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\le 96\end{array}\Rightarrow \underline{x\in ⟨0;96⟩}$

 

$A-\text{wylosowano los wygrywający}$  

$I-\text{losowano z pierwszej urny}$  

$II-\text{losowano z drugiej urny}$  

 

Wskazujemy losowo jedną z dwóch urn, czyli:

$P\left(I\right)=P\left(II\right)=\frac{1}{2}$  

 

W pierwszej urnie znajdują się 2 losy wygrywające, wszystkich losów jest x+2. 

$P\left(A\mid I\right)=\frac{2}{x+2}$  

 

W drugiej urnie nie ma żadnych losów wygrywających, wszystkich losów jest 98-x. 

$P\left(A\mid II\right)=\frac{0}{98-x}=0$  

 

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania wygrywającego losu w pierwszym przypadku. 

$P\left(A\right)=P\left(A\mid I\right)\cdot P\left(I\right)+P\left(A\mid II\right)\cdot P\left(II\right)=\frac{2}{x+2}\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{x+2}$  

 

Powyższe prawdopodobieństwo osiągnie największą wartość, jeśli mianownik (x+2) będzie jak najmniejszy.

Na początku zauważyliśmy, że x należy do przedziału <0, 96>, więc wartość mianownika będzie jak najmniejsza dla x=0. 

Obliczmy tę wartość:

$x=0\to P\left(A\right)=\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}$  

 

Drugi przypadek 

$y+1-\text{ilosˊcˊ losoˊw w pierwszej urnie}$  

$100-\left(y+1\right)=99-y-\text{ilosˊcˊ losoˊw w drugiej urnie}$  

W pierwszej urnie znajduje się więc y losów niewygrywających oraz 1 los wygrywający. W drugiej urnie znajduje się 99-y losów, jeden z nich jest wygrywający.

W treści zadania podano, że w każdej urnie muszą znajdować się co najmniej 2 losy, więc muszą być spełnione nierówności:

$\{\begin{array}{l}y+1\ge 2\mid -1\\ 99-y\ge 2\mid -99\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y\ge 1\\ -y\ge -97\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y\ge 1\\ y\le 97\end{array}\Rightarrow \underline{y\in ⟨1;97⟩}$  

 

Oznaczenia zdarzeń pozostają takie same, jak w pierwszym przypadku.

Wskazujemy losowo jedną z dwóch urn, czyli:

$P\left(I\right)=P\left(II\right)=\frac{1}{2}$   

 

W pierwszej urnie znajduje się 1 los wygrywający, wszystkich losów jest y+1.

$P\left(A\mid I\right)=\frac{1}{y+1}$  

 

W drugiej urnie znajduje się 1 los wygrywający, wszystkich losów jest 99-y. 

$P\left(A\mid II\right)=\frac{1}{99-y}$  

 

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania wygrywającego losu w pierwszym przypadku. 

$P\left(A\right)=P\left(A\mid I\right)\cdot P\left(I\right)+P\left(A\mid II\right)\cdot P\left(II\right)=\frac{1}{y+1}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{99-y}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{99-y}\right)=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{99-y}{\left(y+1\right)\left(99-y\right)}+\frac{y+1}{\left(y+1\right)\left(99-y\right)}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{100}{\left(y+1\right)\left(99-y\right)}=\frac{50}{\left(y+1\right)\left(99-y\right)}=$  

$=\frac{50}{99y-y^2+99-y}=\frac{50}{-y^2+98y+99}$  

Powyższe prawdopodobieństwo osiągnie największą wartość, jeśli mianownik będzie jak najmniejszy. W mianowniku znajduje się trójmian kwadratowy, współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Parabola osiąga wartość największą (w wierzchołku). Nas jednak interesuje wartość najmniejsza w zadanym przedziale <1, 97>. Jeśli ramiona paraboli są skierowane w dół, to wartość mianownika będzie najmniejsza na końcach tego przedziału. Prawdopodobieństwo będzie wtedy największe. Obliczmy więc:

$y=1\to P\left(A\right)=\frac{50}{\left(1+1\right)\cdot \left(99-1\right)}=\frac{50}{2\cdot 98}=\frac{25}{98}$  

$y=97\to P\left(A\right)=\frac{50}{\left(97+1\right)\cdot \left(99-97\right)}=\frac{50}{98\cdot 2}=\frac{25}{98}$  

Zauważmy, że oba otrzymane prawdopodobieństwa są mniejsze niż 1/2, ponieważ:

$\frac{1}{2}=\frac{49}{98}$  

 

W drugim przypadku prawdopodobieństwo wygranej jest więc zawsze mniejsze niż w pierwszym przypadku. 

W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo wygranej jest największe, gdy x=0, czyli gdy w pierwszej urnie znajdują się 2 losy wygrywające, a pozostałe 98 losów znajduje się w drugiej urnie.