Matematyka

Uzasadnij podane w ramce wzory 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

 

Zapiszmy sumę zdarzeń A i B jako sumę trzech zbiorów rozłącznych. 

Suma zdarzeń A i B, to suma zbiorów zdarzeń elementarnych:

  • należących do zdarzenia A, ale jednocześnie nienależących do zdarzenia B
  • należących jednocześnie do zdarzeń A i B
  • należących do zdarzenia B, ale jednocześnie nienależących do zdarzenia A

Zachodzi więc równość:

 

Prawdziwa jest więc równość:

   

 

Jak wspomnieliśmy na początku, zbiory po prawej stronie równości są zbiorami rozłącznymi, więc mozemy zapisać prawdopodobieństwo ich sumy jako sumę prawdopodobieństw. 

  

 

Iloczyn zbiorów A i B zawiera się w zbiorze A i zawiera się w zbiorze B. Skorzystamy teraz z własności, którą wykażemy później. Własność jest następująca:

 

 

Skorzystajmy z tej własności we wzorze oznaczonym gwiazdką:

 

 

Co należało wykazać. 

 

 

Udowodnimy jeszcze wspomnianą własność. 

Jeśli zbiór C zawiera się w zbiorze D, to mamy następującą sytuację:

Zachodzi więc równość:

 

Stąd prawdziwa jest równość:

 

 

Zbiór C oraz różnica zbiorów D i C to zbiory rozłączne, więc prawdopodobieństwo ich sumy to suma ich prawdopodobieństw. 

 

Po przekształceniu otrzymujemy żądaną równość:

 

 

 

 

 

 

Zdarzenie A oraz zdarzenie A' przeciwne do zdarzenia A są zdarzeniami, których suma jest całą przestrzenią zdarzeń elementarnych. 

 

 

Możemy więc zapisać:

  

 

Zdarzenia A i A' są zdarzeniami rozłącznymi, więc prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń to suma ich prawdopodobieństw:

 

 

Prawdopodobieństwo zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych jest równe 1 (któreś ze zbioru wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych zajdzie), więc możemy zapisać:

 

 

Czyli: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma zdarzeń A i B jest więc zdarzeniem pewnym. 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Barbara Wolnik
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326720505
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3 (różne od 0): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5 (różne od 0): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4 (różne od 0): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6 (różne od 0): 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6. Jest to 12.


Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWW dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn czynników pierwszej liczby oraz niezaznaczonych czynników drugiej liczby. 

Przykład:

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom