
Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.
Wzór na dodawanie logarytmów:
$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$Przykład:
$log_{2}6=$Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.
Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:
niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby
np.: $x < 5 $
Pamiętamy o standardowych warunkach:
- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą
- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej
Zasady rysowania osi liczbowej:
- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo
- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).
- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).
Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:
- zapisanie niewiadomej (x),
- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",
- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).
Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:
- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;
- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.
Całość najlepiej pokazać na przykładzie:
Rozwiąż nierówność: $2(x-3)+3(x+5)≥4x$
Najpierw musimy wymnożyć nawiasy
$2x-6+3x+15≥4x$
Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak
$2x+3x-4x≥6-15$
Sumujemy nasze x
$x≥-9$
Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.
$x∈<-9;∞)$
Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:
Znajdź zbiór rozwiązań nierówności ${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $.
Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $5*3=15$
Więc:
${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$ $|×15$
Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:
$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $
Skracamy odpowiednio
$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$
Następnie mnożymy przez nawiasy
$3x+3+5-20x < 60-30x$
Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą
$3x-20x+30x < 60-5-3$
Sumujemy wszystko
$13x < 52$
Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x
$13x < 52$ $|:13$
$x < 4$
Zapisujemy przedział
$x∈(-∞;4)$
Rysujemy oś: