$\underline{\underline{P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}}$  

Zapiszmy sumę zdarzeń A i B jako sumę trzech zbiorów rozłącznych. 

Suma zdarzeń A i B, to suma zbiorów zdarzeń elementarnych:

• należących do zdarzenia A, ale jednocześnie nienależących do zdarzenia B
• należących jednocześnie do zdarzeń A i B
• należących do zdarzenia B, ale jednocześnie nienależących do zdarzenia A

Zachodzi więc równość:

$A\cup B=\left(A\backslash \left(A\cap B\right)\right)\cup \left(A\cap B\right)\cup \left(B\backslash \left(A\cap B\right)\right)$  

Prawdziwa jest więc równość:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(\left(A\backslash \left(A\cap B\right)\right)\cup \left(A\cap B\right)\cup \left(B\backslash \left(A\cap B\right)\right)\right)$    

 

Jak wspomnieliśmy na początku, zbiory po prawej stronie równości są zbiorami rozłącznymi, więc mozemy zapisać prawdopodobieństwo ich sumy jako sumę prawdopodobieństw. 

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\backslash \left(A\cap B\right)\right)+P\left(A\cap B\right)+\left(B\backslash \left(A\cap B\right)\right)\left(\ast \right)$