1−(21​)x+(41​)x−(81​)x+…=m   ∣−1
−(21​)x+(41​)x−(81​)x+…=m−1
Zauważmy, że po lewej stronie znajduje się suma ciąg geometrycznego,
i dodatkowo zauważmy, że lewa strona jest liczbą ujemną, więc
prawa strona również jest liczbą ujemną, czyli m−1<0   ⇒   m<1
Założenie: m∈(−∞,1)
a1​=−(21​)x
q=−(21​)x przy założeniu, że ∣q∣<1
∣∣​−(21​)x∣∣​<1
(21​)x<1   ⇒   x∈(0,+∞)
S=1−qa1​​=1−(−(21​)x)−(21​)x​=1+(21​)x−(21​)x​
1+(21​)x−(21​)x​=m−1   ∣⋅(1+(21​)x)
−(21​)x=(m−1)⋅(1+(21​)x)
−(21​)x=m+m⋅(21​)x−1−(21​)x   ∣+(21​)x
0=m+m⋅(21​)x−1   ∣+1
1=m(1+(21​)x)   ∣:m
m1​=1+(21​)x   ∣−1
m1​−1=(21​)x
m1​−1<1   ∣+1
m1​<2   ∣⋅m
1<2m   ∣:2
21​<m
m∈(21​,+∞)
Uwzględniając założenie: m∈(−∞,1)
otrzymujemy rozwiÄ…zanie:
m∈(21​,1)
Komentarze