$1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{8}\right)}^x+\dots =m\mid -1$  

$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{8}\right)}^x+\dots =m-1$  

Zauważmy, że po lewej stronie znajduje się suma ciąg geometrycznego,

i dodatkowo zauważmy, że lewa strona jest liczbą ujemną, więc

prawa strona również jest liczbą ujemną, czyli  $m-1<0\Rightarrow m<1$  

Założenie:  $m\in \left(-\infty ,1\right)$  

$a_1=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  

$q=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  przy założeniu, że  $\left|q\right|<1$  

$\left|-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right|<1$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1\Rightarrow x\in \left(0,+\infty \right)$  

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{1-\left(-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)}=\frac{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$  

$\frac{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}=m-1\mid \cdot \left(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$  

$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=\left(m-1\right)\cdot \left(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$  

$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=m+m\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\mid +{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  

$0=m+m\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1\mid +1$  

$1=m\left(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)\mid :m$  

$\frac{1}{m}=1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\mid -1$  

$\frac{1}{m}-1={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  

$\frac{1}{m}-1<1\mid +1$  

$\frac{1}{m}<2\mid \cdot m$  

$1<2m\mid :2$  

$\frac{1}{2}<m$  

$m\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$  

Uwzględniając założenie:  $m\in \left(-\infty ,1\right)$  

otrzymujemy rozwiązanie: 

$m\in \left(\frac{1}{2},1\right)$