Środek okręgu leży na prostej   $x-y-4=0\iff x-4=y$  

Zatem środek okręgu to punkt  $S=\left(x,x-4\right)$  

Obliczmy odległość środka od prostej  $2x-y-12=0$  

$\frac{\left|2\cdot x-1\cdot \left(x-4\right)-12\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|2x-x+4-12\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-8\right|}{\sqrt{5}}$  

Obliczmy odległość środka od prostej  $x+2y-6=0$