Matematyka

Ustal, na ile sposobów można podzielić 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

 

Każdy z n elementów możemy "włożyć" do jednego z 2 podzbiorów, więc liczba wszystkich możliwości jest równa 2n. Oba podzbiory muszą być jednak niepuste, więc musimy odjąć 2 możliwości - gdy pierwszy podzbiór jest pusty lub gdy drugi podzbiór jest pusty. Różnicę musimy jeszcze podzielić przez 2! - nie ma dla nas znaczenia, czy dany podzbiór jest pierwszy (np. podzbiory {a, b, c} i {d, e, f} to to samo, co podzbiory {d, e, f} i {a, b, c}).

Liczba sposobów podziału zbioru n-elementowego na 2 niepuste podzbiory wynosi więc:

 

 

 

 

Każdy z n elementów możemy "włożyć" do jednego z 3 podzbiorów, więc liczba wszystkich możliwości jest równa 3n. Każdy z trzech podzbiorów ma być jednak niepusty, więc musimy odjąć liczbę takich sytuacji, w któych przynajmniej jeden podzbiór jest pusty. Przeanalizujmy, ile jest takich możliwości. Jeden z trzech pustych podzbiorów możemy wybrać na 3 sposoby. Zostają wtedy dwa podzbiory, w których należy umieścić n elementów. Każdy z tych elementów możemy włożyć do jednego z dwóch podzbiorów, więc liczba możliwości jest równa: 3∙2n. Zauważmy jednak, że wtedy trzy sytuacje są liczone podwójnie:

  • jeśli mamy ustalony pierwszy podzbiór jako podzbiór pusty, to może zdarzyć się, że pusty będzie także drugi podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w trzecim podzbiorze) lub pusty będzie także trzeci podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w drugim podzbiorze) - puste są podzbiory 1. i 2. lub 1. i 3.
  • jeśli mamy ustalony drugi podzbiór jako podzbiór pusty, to może zdarzyć się, że pusty będzie także pierwszy podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w trzecim podzbiorze) lub pusty będzie także trzeci podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w drugim podzbiorze) - puste są podzbiory 1. i 2. lub 2. i 3.
  • jeśli mamy ustalony trzeci podzbiór jako podzbiór pusty, to może zdarzyć się, że pusty będzie także pierwszy podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w trzecim podzbiorze) lub pusty będzie także drugi podzbiór (wtedy wszystkie elementy są w drugim podzbiorze) - puste są podzbiory 1. i 3. lub 2. i 3.

Sytuacje, gdy podzbiory 1. i 2. lub 2. i 3. lub 1. i 3. są puste są liczone podwójnie, dlatego należy odjąć trójkę od liczby podzbiorów, gdy przynajmniej jeden jest pusty. 

Podobnie jak w a), nie ma znaczenia kolejność podzbiorów, dlatego musimy jeszcze podzielić przez 3!. 

Liczba sposobów podziału zbioru n-elementowego na 2 niepuste podzbiory wynosi więc:

 

 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Barbara Wolnik
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326720505
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom