$\text{a)}$  

Dzielniki 81 to: 1, 3, 9, 27, 81. Dzielników jest 5. 

W podpunkcie b) można by było próbować wypisać wszystkie dzielniki, ale liczba jest dość duża, dlatego wypisywanie dzielników może być trudne.

Wiemy, że każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych (czasem te liczby występują w pewnych potęgach).

Zachodzi więc równość:

$n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$  

gdzie:

$p_1,p_2,\dots ,p_k-\text{liczby pierwsze}$  

$a_1,a_2,\dots ,a_k-\text{wykładniki przy odpowiednich liczbach pierwszych}$  

Zauważmy, że wszystkie dzielniki powstają przez branie pewnych liczb pierwszych z tego rozkładu lub branie ich iloczynu. Jeśli pewna liczba p_n występuje w rozkładzie podniesiona do potęgi a_n, to możemy ją "wziąć do dzielnika" 0 razy lub 1 raz lub 2 razy lub ...  lub a_n razy - mamy więc a_n+1 możliwości wyboru (przez "wzięcie do dzielnika" rozumiemy uwzględnienie tej liczby pierwszej p w odpowiedniej potędze w iloczynie tworzącym dany dzielnik). Zobaczmy to na prostym przykładzie:

$28=2\cdot 2\cdot 7=2^2\cdot 7$  

Dzielniki, jakie możemy uzyskać to:

$1\left(=1\cdot 1=2^0\cdot 7^0\right)$   

Dzielnik 1 to zawsze iloczyn wszystkich liczb pierwszych pojawiających się w rozkładzie podniesionych do potęgi 0 (dowolna niezerowa liczba podniesiona do potęgi 0 daje 0).

$2\left(=2^1\right)$   

Bierzemy dwójkę w pierwszej potędze.

$4\left(=2^2\right)$  

Bierzemy dwójkę w drugiej potędze (i więcej dwójek już nie możemy wziąć).

$7\left(=7^1\right)$  

Bierzemy jedną siódemkę (i więcej siódemek już nie możemy wziąć).

$14\left(=2^1\cdot 7^1\right)$  

Bierzemy dwójkę w pierwszej potędze i siódemkę w pierwszej potędze. 

$28\left(=2^2\cdot 7\right)$  

Bierzemy dwójkę w drugiej potędze i siódemkę w pierwszej potędze.

Zauważmy, że tych dzielników jest 6. Wynika to stąd, że mogliśmy wziąć do iloczynu dwójkę na trzy sposoby (w wykładniku 0, w wykładniku 1 lub w wykładniku 2) oraz mogliśmy wziąć siódemkę na dwa sposoby (w wykładniku 0 lub w wykładniku 1). Iloczyn 2 i 3 jest równy 6, więc liczba dzielników jest równa 6. 

Stąd liczba wszystkich dzielników liczby naturalnej n zdefiniowanej na początku jest równa:

$\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\dots \left(a_k+1\right)$  

$\text{b)}$  

Zapiszmy liczbę 210 w żądanej postaci:

$210=3\cdot 70=3\cdot 2\cdot 35=3\cdot 2\cdot 5\cdot 7=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$  

Każda z czterech liczb pierwszych występuje w potędze 1, więc zgodnie z udowodnionym wzorem ilość dzielników tej liczby wynosi:

$\left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$  

$\text{c)}$  

$6000=2\cdot 3\cdot 1000=2\cdot 3\cdot {10}^3=2\cdot 3\cdot {\left(2\cdot 5\right)}^3=2\cdot 3\cdot 2^3\cdot 5^3=2^4\cdot 3\cdot 5^3$  

Ilość dzielników tej liczby:

$\left(4+1\right)\cdot \left(1+1\right)\cdot \left(3+1\right)=5\cdot 2\cdot 4=40$  

$\text{d)}$  

$9!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9=2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 2^3\cdot 3^2=2^7\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$  

Ilość dzielników tej liczby:

$\left(7+1\right)\cdot \left(4+1\right)\cdot \left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)=8\cdot 5\cdot 2\cdot 2=160$  

Uwaga 

Zauważmy, że wzór ten można było zastosować już w podpunkcie a).

Wiemy, że:

$81=3^4$  

Oznacza to, że liczba dzielników musi być równa:

$4+1=5$