Klasa
3 szko艂y 艣redniej
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi膮偶k臋
MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum, Zbi贸r zada艅

 

Dzielniki 81 to: 1, 3, 9, 27, 81. Dzielnik贸w jest 5. 

W podpunkcie b) mo偶na by by艂o pr贸bowa膰 wypisa膰 wszystkie dzielniki, ale liczba jest do艣膰 du偶a, dlatego wypisywanie dzielnik贸w mo偶e by膰 trudne.

Wiemy, 偶e ka偶d膮 liczb臋 naturaln膮 mo偶na zapisa膰 jako iloczyn liczb pierwszych (czasem te liczby wyst臋puj膮 w pewnych pot臋gach).

Zachodzi wi臋c r贸wno艣膰:

 

gdzie:

 

 

 

Zauwa偶my, 偶e wszystkie dzielniki powstaj膮 przez branie pewnych liczb pierwszych z tego rozk艂adu lub branie ich iloczynu. Je艣li pewna liczba pwyst臋puje w rozk艂adzie podniesiona do pot臋gi an, to mo偶emy j膮 "wzi膮膰 do dzielnika" 0 razy lub 1 raz lub 2 razy lub ...  lub an razy - mamy wi臋c an+1 mo偶liwo艣ci wyboru (przez "wzi臋cie do dzielnika" rozumiemy uwzgl臋dnienie tej liczby pierwszej p w odpowiedniej pot臋dze w iloczynie tworz膮cym dany dzielnik). Zobaczmy to na prostym przyk艂adzie:

 

Dzielniki, jakie mo偶emy uzyska膰 to:

  

Dzielnik 1 to zawsze iloczyn wszystkich liczb pierwszych pojawiaj膮cych si臋 w rozk艂adzie podniesionych do pot臋gi 0 (dowolna niezerowa liczba podniesiona do pot臋gi 0 daje 0).

 

  

Bierzemy dw贸jk臋 w pierwszej pot臋dze.

 

 

Bierzemy dw贸jk臋 w drugiej pot臋dze (i wi臋cej dw贸jek ju偶 nie mo偶emy wzi膮膰).

 

 

Bierzemy jedn膮 si贸demk臋 (i wi臋cej si贸demek ju偶 nie mo偶emy wzi膮膰).

 

 

Bierzemy dw贸jk臋 w pierwszej pot臋dze i si贸demk臋 w pierwszej pot臋dze. 

 

 

Bierzemy dw贸jk臋 w drugiej pot臋dze i si贸demk臋 w pierwszej pot臋dze.

 

Zauwa偶my, 偶e tych dzielnik贸w jest 6. Wynika to st膮d, 偶e mogli艣my wzi膮膰 do iloczynu dw贸jk臋 na trzy sposoby (w wyk艂adniku 0, w wyk艂adniku 1 lub w wyk艂adniku 2) oraz mogli艣my wzi膮膰 si贸demk臋 na dwa sposoby (w wyk艂adniku 0 lub w wyk艂adniku 1). Iloczyn 2 i 3 jest r贸wny 6, wi臋c liczba dzielnik贸w jest r贸wna 6. 

St膮d liczba wszystkich dzielnik贸w liczby naturalnej n zdefiniowanej na pocz膮tku jest r贸wna:

 


 

Zapiszmy liczb臋 210 w 偶膮danej postaci:

 

 

Ka偶da z czterech liczb pierwszych wyst臋puje w pot臋dze 1, wi臋c zgodnie z udowodnionym wzorem ilo艣膰 dzielnik贸w tej liczby wynosi:

 


 

 

 

Ilo艣膰 dzielnik贸w tej liczby:

 


 

 

 

Ilo艣膰 dzielnik贸w tej liczby:

 


Uwaga 

Zauwa偶my, 偶e wz贸r ten mo偶na by艂o zastosowa膰 ju偶 w podpunkcie a).

Wiemy, 偶e:

 

Oznacza to, 偶e liczba dzielnik贸w musi by膰 r贸wna:

 

Komentarze

Avatar komentatora
Jakub5 listopada 2017
dzi臋ki!!!
0
Avatar komentatora
R贸偶a16 listopada 2017
Dzi臋ki za pomoc :):)
0
Avatar komentatora
Magdalena19 stycznia 2018
dziena
0
Avatar komentatora
Sebastian22 stycznia 2018
dzieki!!!!
0