a) Każdy z trójkątów ABE, BCE, CDE jest trójkątem o kątach 30^o, 60^o i 90^o. 

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30^o, 60^o i 90^o obliczamy długości odpowiednich boków. 

Trójkąt CDE:
$\left|DE\right|=16$  

Bok CD jest dwa razy krótszy od boku DE, czyli:
$\left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|DE\right|=\frac{1}{2}\cdot 16=8$  

Obliczamy jaką długość ma bok CE. 
$\left|CE\right|=\frac{\left|DE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$  

Trójkąt BCE: 
$\left|CE\right|=8\sqrt{3}$  

Bok BC jest dwa razy krótszy od boku CE, czyli:
$\left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|CE\right|=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$  

Obliczamy jaką długość ma bok BE. 
$\left|BE\right|=\frac{\left|CE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{{\sout{8}}^4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=4\cdot 3=12$  

Trójkąt ABE:
$\left|BE\right|=12$  

Bok AB jest dwa razy krótszy od boku BE, czyli:
$\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BE\right|=\frac{1}{2}\cdot 12=6$  

Obliczamy jaką długość ma bok AE. 
$\left|AE\right|=\frac{\left|BE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$   

Znamy już długości wszystkich boków potrzebych do obliczenia obwodu wielokąta ABCDE. 

Obliczamy ile wynosi obwód tego wielokąta. 
$O=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|DE\right|+\left|AE\right|=6+4\sqrt{3}+8+16+6\sqrt{6}=30+10\sqrt{3}$  

Odpowiedź:
Obwód wielokąta ABCDE wynosi 30+10√3. 
$\underline{\underline{}}$  

b) Każdy z trójkątów ABE, BCE, CDE jest trójkątem o kątach 30^o, 60^o i 90^o. 

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30^o, 60^o i 90^o obliczamy długości odpowiednich boków. 

Trójkąt ABE:
$\left|AE\right|=15$  

Obliczamy jaką długość ma bok BE, czyli:
$15=\frac{\left|BE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  
$30=\left|BE\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  
$\left|BE\right|=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$  

Bok AB jest dwa razy krótszy od boku BE, czyli:
$\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BE\right|=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}=5\sqrt{3}$     

Trójkąt BCE:
$\left|BE\right|=10\sqrt{3}$  

Obliczamy jaką długość ma bok CE, czyli:
$10\sqrt{3}=\frac{\left|CE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  
$20\sqrt{3}=\left|CE\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  
$\left|CE\right|=20$  

Bok BC jest dwa razy krótszy od boku CE, czyli:
$\left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|CE\right|=\frac{1}{2}\cdot 20=10$  

Trójkąt CDE:
$\left|CE\right|=20$  

Obliczamy jaką długość ma bok DE, czyli:
$20=\frac{\left|DE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  
$40=\left|DE\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  
$\left|DE\right|=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}=13\frac{1}{3}\sqrt{3}$  

Bok CD jest dwa razy krótszy od boku DE, czyli:
$\left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|DE\right|=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot \frac{{\sout{40}}^{20}\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}=6\frac{2}{3}\sqrt{3}$   

 

Znamy już długości wszystkich boków potrzebych do obliczenia obwodu wielokąta ABCDE. 

Obliczamy ile wynosi obwód tego wielokąta. 
$O=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|DE\right|+\left|AE\right|=5\sqrt{3}+10+6\frac{2}{3}\sqrt{3}+13\frac{1}{3}\sqrt{3}+15=25+25\sqrt{3}$     

Odpowiedź:
Obwód wielokąta ABCDE wynosi 25+25√3.