Przy dzieleniu przez 3 mamy trzy możliwości:

• liczba jest podzielna przez 3, więc można zapisać ją jako 3a (gdzie a to pewna liczba naturalna)
• liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc można ją zapisać jako 3b+1 (gdzie b to pewna liczba naturalna)
• liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, więc można ją zapisać jako 3c+2 (gdzie c to pewna liczba naturalna)

Rozpatrzmy teraz dwa przypadki.

 

$\underline{\text{pierwszy przypadek}}$  

W przypadku, gdy wśród tych pięciu liczb znajdują się co najmniej trzy dające taką samą resztę z dzielenia przez 3, to wybieramy trzy liczby dające jednakową resztę z dzielenia przez 3 - ich suma jest podzielna przez 3. Można to łatwo uzsadanić. Suma trzech liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3, ponieważ:

$3k+3l+3m=\underline{\underline{3}}\left(k+l+m\right)$