${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=50$  

 

a) Wyznaczmy punkty przecięcia okręgu i prostej zawierającej podstawę tęgo trójkąta:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=50\\ y=x-7\end{array}$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(x-7-2\right)}^2=50$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(x-9\right)}^2=50$  

$x^2-2x+1+x^2-18x+81=50$  

$2x^2-20x+32=0\mid :2$  

$x^2-10x+16=0$  

$x^2-2x-8x+16=0$  

$x\left(x-2\right)-8\left(x-2\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x-8\right)=0$  

$x_1=2\vee x_2=8$  

A więc:

$A=\left(2,2-7\right)=\left(2,-5\right)$   

$B=\left(8,8-7\right)=\left(8,1\right)$  

 

Wyznaczmy środek odcinka AB:

$S_{AB}=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{2+8}{2},\frac{-5+1}{2}\right)=\left(5,-2\right)$  

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej AB:

$y=-x+q$  

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

$-2=-5+q$  

$q=3$  

Równanie tej prostej to:

$y=-x+3$  

 

Obliczmy punkt przecięcia naszej prostej z okręgiem:

$\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=50\end{array}$