a) Obliczmy punkty przecięcia się prostych z osią OX.

 

$\text{Dla}y=0$  

$-x+2=0$  

$x=2$  

$\left(2,0\right)$  

 

$\text{Dla}y=0$  

$2x+8=0$  

$2x=-8$  

$x=-4$  

$\left(-4,0\right)$  

 

Obliczmy punkt przecięcia się prostych:

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x+8\end{array}$  

$-x+2=2x+8$  

$3x=-6$  

$x=-2$  

stąd:

$y=-\left(-2\right)+2$  

$y=4$  

$\left(-2,4\right)$  

Rysunek :

Podstawa trójkąta ma długość 6, natomaist jego wysokość ma długość 4. Pole tego trójkąta wynosi:

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=3\cdot 4=12$ $P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=3\cdot 4=12$  

 

b) Obliczmy punkty przecięcia się każdych dwóch prostych, każdy z punktów przecięcia będzie jednym z wierzchołków trójkąta.

 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\frac{1}{2}x+3=-2x+8$  

$\frac{5}{2}x=5$  

$x=2$  

stąd:

$y=-2\cdot 2+8$  

$y=-4+8$  

$y=4$  

Wierzchołek ma współrzędne:

$\left(2,4\right)$  

 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\frac{1}{2}x+3=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\mid \cdot 14$  

$7x+42=-8x+12$  

$15x=-30$  

$x=-2$  

stąd:

$y=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+3$   

$y=-1+3$  

$y=2$  

Wierzchołek ma współrzędne:

$\left(-2,2\right)$  

 

$\{\begin{array}{l}y=-2x+8\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

$-2x+8=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\mid \cdot 7$  

$-14x+56=-4x+6$  

$-10x=-50$  

$x=5$  

stąd:

$y=-2\cdot 5+8$  

$y=-10+8$  

$y=-2$  

Wierzchołek ma współrzędne:

$\left(5,-2\right)$  

 

Trójkąt jest prostokątny gdyż proste:

$y=\frac{1}{2}x+3,y=-2x+8$  

są prostopadłe. Wiemy to gdyż iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.

 

c) Wierzchołkami tego trójkąta są punkty (0,0), (x', 0) , (0, y').

Zauważmy, że długościami przyprostokątnych tego trójkąta są liczby x' , y'. Skoro pole wynosi 6, to:

$P=\frac{1}{2}\cdot x{}^{\prime }\cdot y{}^{\prime }$    

$6=\frac{1}{2}\cdot x{}^{\prime }\cdot y{}^{\prime }$  

$x{}^{\prime }\cdot y{}^{\prime }=12$  

$y{}^{\prime }=\frac{12}{x{}^{\prime }}$  

 

$\left(x{}^{\prime },0\right),\left(0,\frac{12}{x{}^{\prime }}\right)$  

 

Równanie kierunkowe prostej:

$y=ax+b$  

prosta ma przechodzić przez punkt P=(1,3), zatem:

$3=a+b$  

$b=3-a$  

a więc:

$y=ax+3-a$  

 

Prosta musi przechodzić przez punkty:

$\left(x{}^{\prime },0\right),\left(0,\frac{12}{x{}^{\prime }}\right)$  

 

$\{\begin{array}{l}0=ax{}^{\prime }+3-a\\ \frac{12}{x{}^{\prime }}=3-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=\left(3-\frac{12}{x{}^{\prime }}\right)\cdot x{}^{\prime }+3-\left(3-\frac{12}{x{}^{\prime }}\right)\\ a=3-\frac{12}{x{}^{\prime }}\end{array}$  

Rozwiążmy pierwsze równanie:

$3x{}^{\prime }-12+3-3+\frac{12}{x{}^{\prime }}=0$    

$3x{}^{\prime }-12+\frac{12}{x{}^{\prime }}=0\mid \cdot x{}^{\prime },x{}^{\prime }>0$  

$3{\left(x{}^{\prime }\right)}^2-12x{}^{\prime }+12=0\mid :3$  

${\left(x{}^{\prime }\right)}^2-4x{}^{\prime }+4=0$  

${\left(x{}^{\prime }-2\right)}^2=0$  

$x{}^{\prime }-2=0$  

$x{}^{\prime }=2$  

stąd:

$a=3-\frac{12}{2}$  

$a=3-6$  

$a=-3$  

 

Równanie prostej to:

$y=-3x+3-\left(-3\right)=-3x+6$