Wyznaczmy prostą AB:

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=3\\ f\left(-1\right)=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ -a+b=5\end{array}$  

$\underline{\underline{+}}$  

$2b=8$  

$b=4$   

stąd:

$a+4=3$  

$a=-1$  

 

$AB:y=-x+4$  

 

Punkt C należy do prostej prostopadłej do prostej AB , przechodzącej przez punkt D:

$p:y=x+q$  

Wstawmy współrzędne punktu D:

$3=2+q$  

$q=1$  

 

Równanie tej prostej to:

$y=x+1$  

 

Punkt C ma współrzędne:

$C=\left(x,x+1\right)$  

 

Prosta BD jest prostopadła do odcinka AC, wyznaczmy jej równanie:

$BD:y=cx+d$  

$\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=5\\ f\left(2\right)=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-a+b=5\\ 2a+b=3\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-3a=2$  

$a=-\frac{2}{3}$  

stąd:

$\frac{2}{3}+b=5$  

$b=\frac{13}{3}$  

a więc:

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$   

 

Dowolna prosta prostopadła do prostej BD jest dana równaniem:

$y=\frac{3}{2}x+q$  

 

Jeżeli ta prosta przechodzi przez punkt A to będzie zawierać odcinek AC:

$3=\frac{3}{2}+q$  

$q=\frac{3}{2}$  

 

Równanie prostej AC:

$AC:y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$  

 

Punkt przecięcia prostych CD i AC:

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}$  

$x+1=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$  

$-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$  

$x=-1$  

Stąd:

$y=0$  

 

$C=\left(-1,0\right)$  

 

Odległość punktu C od prostej AB:

$AB:y=-x+4$  

$x+y-4=0$  

 

$d=\frac{\left|1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 0-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|-1-4\right|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$  

 

Długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-1-1\right)}^2+{\left(5-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$  

 

Pole:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{5}{\sqrt{2}}=5$