Pamiętajmy, że promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi ²/₃ wysokości tego trójkąta:

$R=\frac{2}{3}h$  

 

Promień naszego okręgu wynosi:

$R^2=20$  

$R=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$  

czyli

$2\sqrt{5}=\frac{2}{3}h$  

$h=2\sqrt{5}\cdot \frac{3}{2}=3\sqrt{5}$  

 

Znając długość wysokości łatwo obliczyć długość boku trójkąta równobocznego, gdyż:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$3\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$a=3\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{15}}{3}=2\sqrt{15}$  

 

Wyznaczmy równanie okręgu o promieniu długości boku naszego trójkąta o środku w punkcie A=(-3,4).

 

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2={\left(2\sqrt{15}\right)}^2$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=60$  

 

Wyznaczmy punkty przecięcia się okręgów:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=60\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1+y^2-4y+4=20\\ x^2+6x+9+y^2-8y+16=60\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-8x-8+4y-12=-40$  

$-8x-20+4y=-40$  

$4y=8x-20$  

$y=2x-5$  

 

Otrzymana prosta zawiera punkty przecięcia się dwóch okręgów. Wystarczy zatem podstawić jej równanie pod którykolwiek z okręgów by wyznaczyć te punkty.

 

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ y=2x-5\end{array}$  

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(2x-5-2\right)}^2=20$   

${\left(x-1\right)}^2+{\left(2x-7\right)}^2=20$