Wyznaczmy punkty przecięcia się okręgu z prostą zawierającą ramię trapezu:

$\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=50\\ y=3x-15\end{array}$  

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze równanie:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(3x-15-2\right)}^2=50$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(3x-17\right)}^2=50$  

$x^2+2x+1+9x^2-102x+289=50$  

$10x^2-100x+290=50$  

$10x^2-100x+240=0\mid :10$  

$x^2-10x+24=0$  

$x^2-4x-6x+24=0$  

$x\left(x-4\right)-6\left(x-4\right)=0$  

$\left(x-4\right)\left(x-6\right)=0$  

$x_1=4\vee x_2=6$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=4\\ y_1=-3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=6\\ y_2=3\end{array}$  

Rysunek:

 

Pamiętajmy, że kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. Załóżmy, że prosta zawierająca dłuższą podstawę przechodzi przez punkt (4, -3). Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej y=3x-15 przechodzącą przez punkt (6,3).

$y=ax+b$   

 

Skoro proste mają być prostopadłe to:

$a\cdot 3=-1$  

$a=-\frac{1}{3}$  

 

Podstawmy współrzędne punktu (6,3).

$3=-\frac{1}{3}\cdot 6+b$  

$3=-2+b$  

$b=5$  

równanie kierunkowe prostej:

$y=-\frac{1}{3}x+5$  

 

Obliczmy punkt przecięcia się tej prostej z okręgiem, w tym celu podstawmy pod zmienną y równanie naszej funkcji.

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=50$   

${\left(x+1\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}x+5-2\right)}^2=50$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}x+3\right)}^2=50$  

$x^2+2x+1+\frac{1}{9}{x}^2-2x+9=50$  

$\frac{10}{9}{x}^2+10=50$  

$\frac{10}{9}{x}^2=40$  

$x^2=36$  

$x=6\vee x=-6$  

A więc drugi punkt przecięcia się z okręgiem ma współrzędne:

$\left(-6,-\frac{1}{3}\cdot \left(-6\right)+5\right)=\left(-6,2+5\right)=\left(-6,7\right)$   

Rysunek:

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty (-6,7) oraz (4,-3). Jest to prosta zawierająca dłuższą podstawę trapezu.

$g\left(x\right)=cx+d$  

$\{\begin{array}{l}g\left(-6\right)=7\\ g\left(4\right)=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-6c+d=7\\ 4c+d=-3\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-10c=10$  

$c=-1$  

stąd:

$4\cdot \left(-1\right)+d=-3$  

$-4+d=-3$  

$d=1$  

a więc równanie naszej prostej to:

$y=-x+1$  

Zapiszmy równanie tej prostej w postaci ogólnej:

$x+y-1=0$  

 

Wyznaczmy teraz odległość punktu (6,3) od prostej zawierającej dłuższą podstawę trapezu, ta odległość jest równa wysokości trapezu.

$h=d=\frac{\left|Ax+By+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot 6+1\cdot 3-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$