Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Znamy długość średnicy AB:

$\left|AB\right|=16$  

Długość promienia jest dwukrotnie mniejsza od długości średnicy:

$\left|AS\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=\left|SD\right|=8$  

 

Pole części koła pomiędzy średnicą AB i cięciwą CD możemy obliczyć sumując pola dwóch wycinków koła oraz trójkąta równoramiennego.

Obliczmy miarę kąta α:

$2\alpha +{120}^{\text{o}}={180}^{\text{o}}$  

$2\alpha ={60}^{\text{o}}$  

$\alpha ={30}^{\text{o}}$  

Obliczmy miarę kąta ß:

$\beta ={180}^{\text{o}}-{90}^{\text{o}}-{30}^{\text{o}}$  

$\beta ={60}^{\text{o}}$  

 

Obliczmy pole wycinka koła o o promieniu 8 i kącie środkowym α = 30^o.

 

 

Chcemy obliczyć pole trójkąta. Musimy wyznaczyć długość odcinka CD (podstawa) oraz odcinka FS (wysokość).  

Zauważmy, że:

$\left|FS\right|=\left|DE\right|$  

oraz 

$\left|FD\right|=\left|SE\right|$  

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90^o, 60^o oraz 30o wyznaczamy długość odcinka DE oraz SE.

^{$\left|ED\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|SD\right|$}  

^{$\left|ED\right|=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{8}}^4=4$}

$\left|SE\right|=\left|ED\right|\sqrt{3}$  

$\left|SE\right|=4\sqrt{3}$  

Stąd mamy:

$\left|FS\right|=\left|DE\right|=4$  

$\left|FD\right|=\left|SE\right|=4\sqrt{3}$  

 

Cięciwa Cd podzielona jest na dwa odcinki o równej długości, stąd:

$\left|CD\right|=2\cdot \left|FD\right|=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$  

Obliczamy pole trójkąta równoramiennego CSD:

$P_{tz}=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{8}}^4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}\left[j^2\right]$  

 

Obliczamy pole części koła pomiedzy średnicą i cięciwą:

$P_{ck}=2\cdot P_{wk}+P_{tz}$  

$P_{ck}=2\cdot \frac{16}{3}\pi +16\sqrt{3}=\frac{32}{3}\pi +16\sqrt{3}\left[j^2\right]$  

 

Odp: Pole części koła pomiędzy średnicą a cięciwą wynosi ³²/₃π+16√3 j².