Pole powierzchni całkowitej sześcianu wyraża wzór:
$P_{c} = 6 a^{2}$
gdzie a to długość krawędzi sześcianu

Objętość sześcianu wyraża wzór:
$V = a^{3}$
gdzie a to długość krawędzi sześcianu

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe objętości sześcianu. Porównajmy te dwie wielkości. Wyliczymy wtedy długość krawędzi sześcianu.
$P_{c} = V$
$6 a^{2} = a^{3} ∣ : a^{2}$
$a = 6$

Długośc krawędzi sześcianu wynosi 6.

a) Szukamy takich prostopadłościanów, których objętość jest równa objętości sześcianu.
$V_{sze \overset{s}{ˊ} cianu} = a^{3} = 6^{3} = 216$

Szukamy więc takich długości krawędzi prostopadłościanu, których iloczyn wynosi 216.
Prostopadłościany mogą mieć wymiary:
1) 4 x 6 x 9

2) 3 x 3 x 24

3) 2 x 9 x 12

Obliczamy teraz pola powierzchni tych prostopadłościanów.
$1) P_{c} = 2 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 4 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 9 = 48 + 72 + 108 = 228$

$2) P_{c} = 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 24 + 2 \cdot 3 \cdot 249 = 18 + 144 + 144 = 306$

$3) P_{c} = 2 \cdot 2 \cdot 9 + 2 \cdot 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 \cdot 12 = 36 + 48 + 216 = 300$

Można zauważyć, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu zależy od doboru długości krawędzi prostopadłościanu. Taką samą objętość mogą mieć prostopadłościany o różnych wymiarach, tzn. o różnych długościach krawędzi.

b) Szukamy takich prostopadłościanów, których pole powierzchni całkowitej jest takie samo jak pole powierzchni całkowitej sześcianu.
$P_{c sze \overset{s}{ˊ} cianu} = 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot 6^{2} = 216$

Szukamy więc takich długości krawędzi prostopadłościanu, aby pole tego prostopadłościanu wynosiło 216.
$216 = 2 x y + 2 x z + 2 y z$
$216 = 2 (x y + x z + y z) ∣ : 2$
$108 = x y + x z + y z$

Szukamy więc takich iloczynów par, których suma da 108.

Prostopadłościany mogą mieć wymiary:
1) 2 x 2 x 26

2) 4 x 4 x 11,5

3) 3 x 3 x 16.5

Obliczamy teraz objętości tych prostopadłościanów.
$1) V = 2 \cdot 2 \cdot 26 = 104$

$2) V = 4 \cdot 4 \cdot 11.5 = 184$

$3) V = 3 \cdot 3 \cdot 16.5 = 148.5$

Można zauważyć, że objętość prostopadłościanu zależy od doboru długości krawędzi prostopadłościanu. Takie samo pole powierzchni całkowitej mogą mieć prostopadłościany o różnych wymiarach, tzn. o różnych długościach krawędzi.

Komentarze