I gimnazjum

Matematyka 2001

Matematyka

Liczy się matematyka 1

Matematyka 1

Matematyka 1. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 1. Zeszyt zadań

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka na czasie! 1

Matematyka wokół nas 1

Matematyka wokół nas 1. Zeszyt ćwiczeń cz. 2 - ukr

Matematyka z plusem 1

Matematyka z plusem 1. Podręcznik

Matematyka z plusem 1. Zbiór zadań

Matematyka z plusem 1. Zeszyt ćwiczeń

Policzmy to razem 1

Pole liczymy ze wzoru: P=6a², gdzie a to długość krawędzi sześcianu.  Pole powierzchni całkowitej wynosi 54cm².   Obliczamy długość krawędzi sześcianu.  54cm2=6a2     ∣:6

Objętość sześcianu liczymy korzystając ze wzoru: V=a³, gdzie a to długość krawędzi sześcianu.  Objętość wynosi 64cm³. Obliczamy długość krawędzi sześcianu.  64cm3=a3

Pole liczymy ze wzoru: P=6a², gdzie a to długość krawędzi sześcianu.  Pole powierzchni całkowitej wynosi 54cm².   Obliczamy długość krawędzi sześcianu.  <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36df2b152d10de422adef9f2a73f69ddb83496e6cd49914dbab601bb488079ab_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36df2b152d10de422adef9f2a73f69ddb83496e6cd49914dbab601bb488079ab_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Objętość sześcianu liczymy korzystając ze wzoru: V=a³, gdzie a to długość krawędzi sześcianu.  Objętość wynosi 64cm³. Obliczamy długość krawędzi sześcianu.  <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2179b2624b011a6e27018936cf24564bdcc9cb77b1fb0f79f47fccee5cc0f8ff_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2179b2624b011a6e27018936cf24564bdcc9cb77b1fb0f79f47fccee5cc0f8ff_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wyraża wzór: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/56b61e0a8e1e9c6ebf446d336e6460abc075140d644a5820f44b6df5e8dbaeb9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/56b61e0a8e1e9c6ebf446d336e6460abc075140d644a5820f44b6df5e8dbaeb9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; gdzie a to długość krawędzi sześcianu Objętość sześcianu wyraża wzór: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f94dafb55e59dbfc0f8c15d4810fd3ca7f23f5896460f63be4f3cc109057dcab_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f94dafb55e59dbfc0f8c15d4810fd3ca7f23f5896460f63be4f3cc109057dcab_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; gdzie a to długość krawędzi sześcianu Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe objętości sześcianu. Porównajmy te dwie wielkości. Wyliczymy wtedy długość krawędzi sześcianu. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2599fd53f1b2052874de80e2492f9ad3718bf7f2b6c29e15d2400c2039b0b0e6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2599fd53f1b2052874de80e2492f9ad3718bf7f2b6c29e15d2400c2039b0b0e6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5841b64f23b2cd73f96954f4db680d175da871719d899e4aa9232c60aad05608_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5841b64f23b2cd73f96954f4db680d175da871719d899e4aa9232c60aad05608_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7e07b8611d1060b356024534379b15e95bb26f0d933aa3377ff76c05a0c0d818_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7e07b8611d1060b356024534379b15e95bb26f0d933aa3377ff76c05a0c0d818_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; Długośc krawędzi sześcianu wynosi 6. a) Szukamy takich prostopadłościanów, których objętość jest równa objętości sześcianu.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e53659d047fcf5ccde80c97a863fe30a44f6a77f571e127546dca02350ced13d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e53659d047fcf5ccde80c97a863fe30a44f6a77f571e127546dca02350ced13d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Szukamy więc takich długości krawędzi prostopadłościanu, których iloczyn wynosi 216. Prostopadłościany mogą mieć wymiary: 1) 4 x 6 x 9 2) 3 x 3 x 24 3) 2 x 9 x 12 Obliczamy teraz pola powierzchni tych prostopadłościanów. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e82ce100c78e81b3cc4233cad191e661e86de27e92ebd843bced732c71f2d7db_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e82ce100c78e81b3cc4233cad191e661e86de27e92ebd843bced732c71f2d7db_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7f64aceb2b8a584d50e51ca351907022d0ded65e2f52ebb60220e62dfa1a4dc4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7f64aceb2b8a584d50e51ca351907022d0ded65e2f52ebb60220e62dfa1a4dc4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/226ef26ef1c8bc54e630eacd4f0878c0113b15407b9fe639af3f95b4e5cbca14_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/226ef26ef1c8bc54e630eacd4f0878c0113b15407b9fe639af3f95b4e5cbca14_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Można zauważyć, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu zależy od doboru długości krawędzi prostopadłościanu. Taką samą objętość mogą mieć prostopadłościany o różnych wymiarach, tzn. o różnych długościach krawędzi. b) Szukamy takich prostopadłościanów, których pole powierzchni całkowitej jest takie samo jak pole powierzchni całkowitej sześcianu. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a4f8d7f25afdbb7f8528f509e48dc77f30c6239eb06d86f327a1c8024b7231b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a4f8d7f25afdbb7f8528f509e48dc77f30c6239eb06d86f327a1c8024b7231b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Szukamy więc takich długości krawędzi prostopadłościanu, aby pole tego prostopadłościanu wynosiło 216. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d783aca84e37338a73aa84def81e9e2c5d433cdaf4f09a56653542e4839ce92a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d783aca84e37338a73aa84def81e9e2c5d433cdaf4f09a56653542e4839ce92a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cb10433210d46663114bb82923b7c18d2d9cc17d542e80c8ed5463807ffc1c89_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cb10433210d46663114bb82923b7c18d2d9cc17d542e80c8ed5463807ffc1c89_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/38c1bacb2af2439ea4f88ca1b384a8580775e95a137ba421655a43cc6066d012_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/38c1bacb2af2439ea4f88ca1b384a8580775e95a137ba421655a43cc6066d012_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Szukamy więc takich iloczynów par, których suma da 108. Prostopadłościany mogą mieć wymiary: 1) 2 x 2 x 26 2) 4 x 4 x 11,5 &nbsp; 3) &nbsp;3 x 3 x 16.5 Obliczamy teraz objętości tych prostopadłościanów. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4cc31907c12385890e643db777c0d1bcb68ab0d8f28dd5d9c15805bcebecea0b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4cc31907c12385890e643db777c0d1bcb68ab0d8f28dd5d9c15805bcebecea0b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a54d17f4ca93f82ebd9b99b59a6aeaa40cc656a15a51c55aaf8948006e6eadc8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a54d17f4ca93f82ebd9b99b59a6aeaa40cc656a15a51c55aaf8948006e6eadc8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/580f133bbb0be627cf466a8e0db537ca6b279a7dc99e817d9dd1042bbd251fbe_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/580f133bbb0be627cf466a8e0db537ca6b279a7dc99e817d9dd1042bbd251fbe_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Można zauważyć, że objętość prostopadłościanu zależy od doboru długości krawędzi prostopadłościanu. Takie samo pole powierzchni całkowitej mogą mieć prostopadłościany o różnych wymiarach, tzn. o różnych długościach krawędzi.

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/36068/xmZpVCjF6EMsfe1dtGlLgg%3D%3D_c53d2b77c86d11143cce3ffc45529b720aa70a60f68d5263b6289f5f1b50a870.jpg" width="183" height="190"> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/15dce557bffbc9fe7d3b9df1014380a6ea308da2ee400ed1e882b6a4c6f7eaf0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/15dce557bffbc9fe7d3b9df1014380a6ea308da2ee400ed1e882b6a4c6f7eaf0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Powierzchnia boczna składa się z dwóch ścian o wymiarach 3 cm x 10cm i dwóch ścian o wymiarach 4 cm x 10 cm. Pole powierzchni bocznej jest równe: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5be34958238cf6203f8d9e7d8bb2e064aeaf2792b128bf4d6b326b8a108578fa_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5be34958238cf6203f8d9e7d8bb2e064aeaf2792b128bf4d6b326b8a108578fa_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Pole powierzchni całkowitej liczymy ze wzoru: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce97ba581707b27a4b272909f337922f1e7784e60288af01cca0f440b02adbe6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce97ba581707b27a4b272909f337922f1e7784e60288af01cca0f440b02adbe6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; gdzie a, b i c to długości krawędzi prostopadłościanu. Pole powierzchni całkowitej jest równe: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b57576d1e4749152882710aed4b16586bc8e3eb7b686afbfeb31d4a361f3daca_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b57576d1e4749152882710aed4b16586bc8e3eb7b686afbfeb31d4a361f3daca_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; Objętość prostopadłościanu liczymy ze wzoru: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6941c8054b452c2b4156adaf315cf019b2dcd30602da270f20f1c5a973db71a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6941c8054b452c2b4156adaf315cf019b2dcd30602da270f20f1c5a973db71a5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; gdzie a, b i c to długości krawędzi prostopadłościanu.&nbsp; Objętość jest równa: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f544357808ce8ab4e6c8f3324244c7d469206a840affd357895c09da97b51479_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f544357808ce8ab4e6c8f3324244c7d469206a840affd357895c09da97b51479_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze