Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie. 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ 5x^2+2x^4+x^3=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=5x^2+2x^4+x^3=x^2(5+2x^2+x)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^2(2x^2+x+5)=0`

`x^2=0\ \ \ vv\ \ \ \ 2x^2+x+5=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy 2x2+x+5 ma pierwiastki.

`Delta=1-40<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Odp: Rozwiązaniem równania jest x=0.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ -2x^3-6x^2+8x=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=-2x^3-6x^2+8x=-2x(x^2+3x-4)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`-2x(x^2+3x-4)=0`

`-2x=0\ \ \ vv\ \ \ \ x^2+3x-4=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy x2+3x-4 ma pierwiastki.

`Delta=9+16=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-3-5)/2=-4`

`x_2=(-3+5)/2=1`

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`x^2+3x-4=(x+4)(x-1)`

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego są liczby: -4 oraz 1.

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -4, 0 oraz 1.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ x^5-7x^4+12x^3=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=x^5-7x^4+12x^3=x^3(x^2-7x+12)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^3(x^2-7x+12)=0`

`x^3=0\ \ \ vv\ \ \ \ x^2-7x+12=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy x2-7x+12 ma pierwiastki.

`Delta=49-48=1`

`sqrtDelta=1`

`x_1=(7-1)/2=3`

`x_2=(7+1)/2=4`

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`x^2-7x+12=(x-4)(x-3)`

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego są liczby: 3 oraz 4.

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby 0, 3 oraz 4.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ 20x^6+x^5=x^4`

`20x^6+x^5-x^4=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=20x^6+x^5-x^4=x^4(20x^2+x-1)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^4(20x^2+x-1)=0`

`x^4=0\ \ \ vv\ \ \ \ 20x^2+x-1=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy 20x2+x-1 ma pierwiastki.

`Delta=1+80=81`

`sqrtDelta=sqrt81=9`

`x_1=(-1-9)/40=-1/4`

`x_2=(-1+9)/40=1/5`

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`20x^2+x-1=20(x+1/4)(x-1/5)`

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego są liczby: -1/4 oraz 1/5.

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -1/4, 0 oraz 1/5 .

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ 4x^5+x^3=4x^4`

`4x^5-4x^4+x^3=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=4x^5-4x^4+x^3=x^3(4x^2-4x+1)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^3(4x^2-4x+1)=0`

`x^3=0\ \ \ vv\ \ \ \ 4x^2-4x+1=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy 4x2-4x+1 ma pierwiastki.

`Delta=16-16=0`

`x=4/8=1/2`

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`4x^2-4x+1=4(x-1/2)^2`

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego jest: 1/2.

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby 0 oraz 1/2 .

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ x^4=2x^6+x^5`

`-2x^6-x^5+x^4=0`

Rozłóżmy wielomian w(x) na czynniki:

`w(x)=-2x^6-x^5+x^4=x^4(-2x^2-x+1)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^4(-2x^2-x+1)=0`

`x^4=0\ \ \ vv\ \ \ \ -2x^2-x+1=0`

`x=0`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy -2x2-x+1 ma pierwiastki.

`Delta=1+8=9`

`sqrtDelta=3`

`x_1=(1-3)/-4=1/2`

`x_2=(1+3)/(-4)=-1`

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`-2x^2-x+1=-2(x-1/2)(x+1)`

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego są liczby: -1 oraz 1/2.

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -1, 0 oraz 1/2 .