Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Rozłóż wielomian w na ... 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ w(x)=3x^4-3x^2=3x^2(x^2-1)`

Po wyłączeniu 3x2 przed nawias, otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który możemy "rozwinąć" korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

`w(x)=3x^2(x-1)(x+1)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ w(x)=2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)`

Po wyłączeniu 2x przed nawias, otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który możemy "zwinąć" korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

`w(x)=2x(x+1)^2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ w(x)=x^6+7x^5+6x^4=x^4(x^2+7x+6)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=49-24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-7-5)/2=-6`

`x_2=(-7+5)/2=-1`

`x^2+7x+6=(x+6)(x+1)`

Stąd wielomian w(x) ma postać:

`w(x)=x^4(x+6)(x+1)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ w(x)=5x^5-10x^3+5x=#underbrace(5x)_("I czynnik")#underbrace((x^4-2x^2+1))_("II czynnik")`

W II czynniku możemy wykonać podstawienie.

`x^2=t`

Wówczas II czynnik możemy zapisać w postaci oraz zapisać go w innej postaci ze wzoru skróconego mnożenia:

`t^2-2t+1=(t-1)^2`

Pamiętamy, że podstawialiśmy t=x2. Stąd II czynnik ma postać:

`(x^2-1)^2`

Wróćmy do wielomianu w(x). W miejsce II czynnika wstawiamy (x2-1)2. W nawiasie znajduje się wyrażenie, które możemy rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

`w(x)=5x(x^2-1)^2=5x[(x-1)(x+1)]^2=5x(x-1)^2(x+1)^2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ w(x)=-3x^5+30x^3-75x=#underbrace(-3x)_("I czynnik")#underbrace((x^4-10x^2+25))_("II czynnik")`

W II czynniku możemy wykonać podstawienie.

`x^2=t`

Wówczas II czynnik możemy zapisać w postaci.

`t^2-10t+25`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=100-100=0`

`t=10/2=5`

`t^2-10t+25=(t-5)^2`

Pamiętamy, że podstawialiśmy t=x2. Stąd II czynnik ma postać:

`(x^2-5)^2`

Wróćmy do wielomianu w(x). W miejsce II czynnika wstawiamy (x2-5)2. W nawiasie znajduje się wyrażenie, które możemy rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

`w(x)=-3x(x-sqrt5)^2(x+sqrt5)^2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ w(x)=32x^6-16x^4+2x^2=#underbrace(2x^2)_("I czynnik")#underbrace((16x^4-8x^2+1))_("II czynnik")`

W II czynniku możemy wykonać podstawienie.

`x^2=t`

Wówczas II czynnik możemy zapisać w postaci:

`16t^2-8t+1`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=64-64=0`

`t=8/32=1/4`

`16t^2-8t+1=16(t-1/4)^2`

Pamiętamy, że podstawialiśmy t=x2. Stąd II czynnik ma postać:

`16(x^2-1/4)^2`

Wróćmy do wielomianu w(x). W miejsce II czynnika wstawiamy 16(x2-1/4)2. W nawiasie znajduje się wyrażenie, które możemy rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

`w(x)=2x^2*16(x-1/2)^2(x+1/2)^2=32x^2(x-1/2)^2(x+1/2)^2`

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Najmniejsza wspólna wielokrotność (nww)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest: 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...;
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.
  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest: 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...;
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6, widzimy że jest to 12.
Jednostki pola

Jednostki pola służą do określenia pola danej figury, mówią nam ile maksymalnie kwadratów jednostkowych mieści się wewnątrz danej figury.

Jednostką pola może być dowolny kwadrat, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki pola, które ułatwiają przekazywanie informacji o polach figur:

  • $$1 mm^2$$ (milimetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 mm jest równe $$1 mm^2$$
  • $$1 cm^2$$ (centymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 $$cm^2$$
  • $$1 dm^2$$ (decymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 dm jest równe $$1 dm^2$$
  • $$1 m^2 $$(metr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 m jest równe $$1 m^2$$
  • $$1 km^2$$ (kilometr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 km jest równe $$1 km^2$$
  • $$1 a$$ (ar) → pole kwadratu o boku 10 m jest równe 100 $$m^2$$
  • $$1 ha$$ (hektar) → pole kwadratu o boku 100 m jest równe 10000 $$m^2$$

Zależności między jednostkami pola:

  • $$1 cm^2 = 100 mm$$; $$1 mm^2 = 0,01 cm^2$$
  • $$1 dm^2 = 100 cm^2 = 10 000 mm^2$$; $$1 cm^2 = 0,01 dm^2$$
  • $$1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2 = 1 000 000 mm^2$$; $$1 dm^2 = 0,01 m^2$$
  • $$1 km^2 = 1 000 000 m^2 = 10 000 a = 100 ha$$; $$1 ha = 0,01 km^2$$
  • $$1 a = 100 m^2$$; $$1 m^2 = 0,01 a$$
  • $$1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$; $$1 a = 0,01 ha$$

Przykłady wyprowadzania powyższych zależności:

  • $$1 cm^2 = 10mm•10mm=100$$ $$mm^2$$
  • $$1 cm^2 = 0,1dm•0,1dm=0,01$$ $$dm^2$$
  • $$1 km^2 = 1000m•1000m=1000000$$ $$m^2$$
Zobacz także
Udostępnij zadanie