Pole całkowite walca o promieniu r i wysokości H:

$P_c=2\pi r^2+2\pi rH$  

Objętość walca o takim samym promieniu i wysokości jest dana wzorem:

$V=\pi r^{2}H$  

 

A więc:

$P_c=2\pi r^2+2\pi rH$  

$150\pi =2\pi r^2+2\pi rH$  

$75=r^2+rH$  

$rH=75-r^2$  

$H=\frac{75-r^2}{r}$  

 

Funkcja opisująca objętość graniastosłupa:

$V\left(r\right)=\pi r^2\frac{75-r^2}{r}=\pi r\left(75-r^2\right)=75\pi r-\pi r^3$  

Obliczmy pochodną:

$V^{{}^{\prime }}\left(r\right)={\left(75\pi r-\pi r^3\right)}^{{}^{\prime }}={\left(75\pi r\right)}^{{}^{\prime }}-{\left(\pi r^3\right)}^{{}^{\prime }}=75\pi -3\pi r^2$  

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

$V^{{}^{\prime }}\left(r\right)=0\text{gdy}75\pi -3\pi r^2=0$  

$75\pi -3\pi r^2=0$  

$75\pi =3\pi r^2$  

$r^2=25$  

$r=5\text{cm}$  

Zauważmy, że jest o maksimum bo:

$V^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}r\in \left(0,5\right)$  

$V^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}r\in \left(5,\sqrt{75}\right)$  

 

$H=\frac{75-5^2}{5}=\frac{75-25}{5}=\frac{50}{5}=10\text{cm}$  

 

A więc wymiary puszki to:

$\{\begin{array}{l}r=5\text{cm}\\ H=10\text{cm}\end{array}$  

 

 

$b)V=0,5\text{l}=\frac{1}{2}{\text{dm}}^3$  

$V=\pi r^{2}H$  

$\frac{1}{2}=\pi r^{2}H$  

$\frac{1}{2\pi }=r^{2}H$  

$H=\frac{1}{2\pi r^2}$  

 

$P_c=2\pi r^2+2\pi rH$  

$P_c=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{1}{2\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{1}{r}$  

Funkcja opisująca pole całkowite walca jest dana wzorem:

$P_c\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{1}{r}$  

Obliczmy pochodną:

$P_c^{{}^{\prime }}\left(r\right)={\left(2\pi r^2+\frac{1}{r}\right)}^{{}^{\prime }}=4\pi r-\frac{1}{r^2}$  

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

$P_c^{{}^{\prime }}\left(r\right)=0\text{gdy}4\pi r-\frac{1}{r^2}=0$  

$4\pi r-\frac{1}{r^2}=0$  

$4\pi r=\frac{1}{r^2}$  

$r^3=\frac{1}{4\pi }$  

$r=\sqrt[3]{\frac{1}{4\pi }}\left[\text{dm}\right]$  

Zauważmy, że jest to minimum bo:

$P_c^{{}^{\prime }}\left(r\right)<0\text{dla}r\in \left(0,\sqrt[3]{\frac{1}{4\pi }}\right)$  

$P_c^{{}^{\prime }}\left(r\right)>0\text{dla}r\in \left(\sqrt[3]{\frac{1}{4\pi }},\infty \right)$   

 

$H=\frac{1}{2\pi r^2}=\frac{1}{2\pi \left({\sqrt[3]{\frac{1}{4\pi }}}^2\right)}=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{16{\pi }^2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{8{\pi }^3}{16{\pi }^2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\pi }{2}}}={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-\frac{1}{3}}={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{2}{\pi }}\left[\text{dm}\right]$