$a)f\left(x\right)=-x^3+3x$  

• Dziedzina:

$D_f=R$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=0$  

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

$f\left(x\right)=0$  

$-x^3+3x=0$  

$-x\left(x^2-3\right)=0$  

$-x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0$  

$x_1=-\sqrt{3}\vee x_2=0\vee x_3=\sqrt{3}$  

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:

$-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$  

 

• Obliczamy granice funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3+3x=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(-1+\frac{3}{x^2}\right)\stackrel{\left[-\infty \cdot \left(-1\right)\right]}{=}\infty$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }-x^3+3x=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3\left(-1+\frac{3}{x^2}\right)\stackrel{\left[\infty \cdot \left(-1\right)\right]}{=}-\infty$  

 

Nie ma asymptoty poziomej.

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(-x^3+3x\right)}^{{}^{\prime }}={\left(-x^3\right)}^{{}^{\prime }}+{\left(3x\right)}^{{}^{\prime }}=-3x^2+3$  

$D=R$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\iff -3x^2+3=0\iff -3\left(x^2-1\right)=0\iff -3\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\iff x_1=-1\text{lub}{x}_2=1$  

Parabola jest skierowana ramionami ku dołowi a więc:

- Na lewo od punktu -1 znak pochodnej jest ujemny, na prawo jest dodatni. Jest to minimum lokalne.

- Na lewo od punktu 1 znak pochodnej jest dodatni, na prawo jest ujemny. Jest to maksimum lokalne.

 

$f\left(-1\right)=-{\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)=1-3=-2$  

$f\left(1\right)=-1^3+3\cdot 1=-1+3=2$

 

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum	rosnąca	maksimum	malejąca