$a)f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+4}$  

• Dziedzina:

$D_f=R$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=\frac{0}{0+4}=0$  

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2}{x^2+4}=0$  

$x^2=0$

$x=0$   

 

Miejscem zerowym funkcji jest liczba:

$0$  

 

• Obliczamy granice funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{4}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1+0}\right]}{=}1$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+4}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{4}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1+0}\right]}{=}1$  

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

$y=1$  

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(\frac{x^2}{x^2+4}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{{\left(x^2\right)}^{{}^{\prime }}\cdot \left(x^2+4\right)-x^2\cdot {\left(x^2+4\right)}^{{}^{\prime }}}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{2x\cdot \left(x^2+4\right)-x^2\left(2x\right)}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{2x^3+8x-2x^3}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{8x}{{\left(x^2+4\right)}^2}$  

$D=R$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\iff \frac{8x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=0\iff 8x=0\iff x=0\iff x_0=0$  

Na lewo od punktu 0 pochodna ma znak ujemny, na prawo znak dodatni a więc jest to minimum.

 

 

$x$	$\left(-\infty ,0\right)$	$0$	$\left(0,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum	rosnąca