Naszkicuj wykres funkcji f.- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

Dziedzina:

$D_{f} = R$

Punkty przecięcia z osiami:

$f (0) = 0$

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

$f (x) = 0$

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = 0$

$x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

$x (x - 2)^{2} = 0$

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = 2$

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:

$0, 2$

Obliczamy granice funkcji f:

$x \to - \infty lim x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = x \to - \infty lim x^{3} (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x ^{2}}) = [- \infty \cdot 1] - \infty$

$x \to \infty lim x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = x \to \infty lim x^{3} (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x ^{2}}) = [\infty \cdot 1] \infty$

Nie ma asymptoty poziomej.

Pochodna funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x)^{^{'}} = (x^{3})^{^{'}} - (4 x^{2})^{^{'}} + (4 x)^{^{'}} = 3 x^{2} - 8 x + 4$

$D = R$

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{^{'}} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 8 x + 4 = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 2) - 2 (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (3 x - 2) = 0 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{2}{3} lub x_{2} = 2$

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc:

- Na lewo od punktu x1 znak pochodnej jest dodatni, na prawo jest ujemny. Jest to maksimum lokalne.

- Na lewo od punktu x2 znak pochodnej jest ujemny, na prawo jest dodatni. Jest to minimum lokalne.

$f (\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^{3} - 4 \cdot (\frac{2}{3})^{2} + 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - 4 \cdot \frac{4}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{48}{27} + 2 \frac{2}{3} = - \frac{40}{27} + 2 \frac{2}{3} =$