Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku x 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku x

3
 Zadanie

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie
7
 Zadanie

`a)`

Prostopadłościan ma wymiary:

`x\ \ xx\ \ x\ \ \xx\ \ x-2`

 

Powyższe wyrażenia opisują długości boków, więc mogą przyjmować wyłącznie wartości dodatnie: 

`x>0\ \ \ "i"\ \ \ x-2>0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>2`

Liczby spełniające jednocześnie te obie nierówności:

`x>2`

`x in (2;\ +infty)`

 

 

Zapisujemy wielomian V opisujący objętość tego prostopadłościanu:

`V(x)=x*x*(x-2)=x^2(x-2)`

Zapisujemy dziedzinę wielomianu V:

`D_V\ =(2;\ +infty)`

 

 

 

`b)`

Musimy rozwiązać nierówność: 

`V(x)>32`

`x^2(x-2)>32`

`x^3-2x^2>32\ \ \ \ |-32`

`#underbrace(x^3-2x^2-32)_(w(x))>0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to te pierwiastki są dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny to -32. Dzielniki -32 to: -32, -16, -8, -4, -2, 1, 2, 4, 8, 16, 32. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w:

`w(2)=2^3-2*2^2-32=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ =8-2*4-32=-32ne0`

`w(4)=4^3-2*4^2-32=`

`\ \ \ \ \ \ \ =64-2*16-32=`

`\ \ \ \ \ \ \ =64-32-32=0`

Liczba 4 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-4). Wykonajmy dzielenie pisemne: 

Możemy więc zapisać nierówność w następującej postaci: 

`(x-4)#underbrace((x^2+2x+8))_(Delta=2^2-4*1*8<0)>0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku: 

`(x-4)(x^2+2x+8)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+2x+8)>0`

`x-4>0\ \ \ |+4`

`x>4`

`x in (4;\ +infty)`

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany zbiór należy do dziedziny:

`(x in (4;\ +infty)\ \ \ "i"\ \ \ x in (2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (4;\ +infty)))`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Jednostki pola

Jednostki pola służą do określenia pola danej figury, mówią nam ile maksymalnie kwadratów jednostkowych mieści się wewnątrz danej figury.

Jednostką pola może być dowolny kwadrat, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki pola, które ułatwiają przekazywanie informacji o polach figur:

  • $$1 mm^2$$ (milimetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 mm jest równe $$1 mm^2$$
  • $$1 cm^2$$ (centymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 $$cm^2$$
  • $$1 dm^2$$ (decymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 dm jest równe $$1 dm^2$$
  • $$1 m^2 $$(metr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 m jest równe $$1 m^2$$
  • $$1 km^2$$ (kilometr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 km jest równe $$1 km^2$$
  • $$1 a$$ (ar) → pole kwadratu o boku 10 m jest równe 100 $$m^2$$
  • $$1 ha$$ (hektar) → pole kwadratu o boku 100 m jest równe 10000 $$m^2$$

Zależności między jednostkami pola:

  • $$1 cm^2 = 100 mm$$; $$1 mm^2 = 0,01 cm^2$$
  • $$1 dm^2 = 100 cm^2 = 10 000 mm^2$$; $$1 cm^2 = 0,01 dm^2$$
  • $$1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2 = 1 000 000 mm^2$$; $$1 dm^2 = 0,01 m^2$$
  • $$1 km^2 = 1 000 000 m^2 = 10 000 a = 100 ha$$; $$1 ha = 0,01 km^2$$
  • $$1 a = 100 m^2$$; $$1 m^2 = 0,01 a$$
  • $$1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$; $$1 a = 0,01 ha$$

Przykłady wyprowadzania powyższych zależności:

  • $$1 cm^2 = 10mm•10mm=100$$ $$mm^2$$
  • $$1 cm^2 = 0,1dm•0,1dm=0,01$$ $$dm^2$$
  • $$1 km^2 = 1000m•1000m=1000000$$ $$m^2$$
Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Zobacz także
Udostępnij zadanie