Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku x 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku x

3
 Zadanie

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie
7
 Zadanie

`a)` 

Prostopadłościan ma wymiary:

`x\ \ xx\ \ x\ \ \xx\ \ x-2` 

 

Powyższe wyrażenia opisują długości boków, więc mogą przyjmować wyłącznie wartości dodatnie: 

`x>0\ \ \ "i"\ \ \ x-2>0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>2` 

Liczby spełniające jednocześnie te obie nierówności:

`x>2` 

`x in (2;\ +infty)` 

 

 

Zapisujemy wielomian V opisujący objętość tego prostopadłościanu:

`V(x)=x*x*(x-2)=x^2(x-2)` 

Zapisujemy dziedzinę wielomianu V:

`D_V\ =(2;\ +infty)` 

 

 

 

`b)` 

Musimy rozwiązać nierówność: 

`V(x)>32` 

`x^2(x-2)>32` 

`x^3-2x^2>32\ \ \ \ |-32` 

`#underbrace(x^3-2x^2-32)_(w(x))>0`  

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to te pierwiastki są dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny to -32. Dzielniki -32 to: -32, -16, -8, -4, -2, 1, 2, 4, 8, 16, 32. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w:

`w(2)=2^3-2*2^2-32=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ =8-2*4-32=-32ne0` 

`w(4)=4^3-2*4^2-32=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =64-2*16-32=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =64-32-32=0` 

Liczba 4 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-4). Wykonajmy dzielenie pisemne: 

Możemy więc zapisać nierówność w następującej postaci: 

`(x-4)#underbrace((x^2+2x+8))_(Delta=2^2-4*1*8<0)>0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku: 

`(x-4)(x^2+2x+8)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+2x+8)>0` 

`x-4>0\ \ \ |+4` 

`x>4` 

`x in (4;\ +infty)` 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany zbiór należy do dziedziny:

`(x in (4;\ +infty)\ \ \ "i"\ \ \ x in (2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (4;\ +infty)))`