Pierwiastki wielomianu f to  -1, 2 i 3. Stopień wielomianu f to 3 (wiadomo z treści zadania), a liczba pierwiastków wielomianu (liczonych z krotnościami) jest nie większa od stopnia tego wielomianu, więc wnioskujemy, że każdy z pierwiastków ma krotność 1. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 2, więc możemy zapisać:

$w\left(x\right)=2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)$  

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian w:

$w\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=$  

$=\left(2x^2-4x+2x-4\right)\left(x-3\right)=$  

$=\left(2x^2-2x-4\right)\left(x-3\right)=$  

$=2x^3-6x^2-2x^2+6x-4x+12=$ $=2x^3-6x^2-2x^2+6x-4x+12=$  

$=2x^3-8x^2+2x+12$  

 

Z treści zadania wiemy jednak, że wielomian w(x) dany jest wzorem:

$w\left(x\right)=2x^3+a{x}^2+bx+c$  

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, porównajmy więc odpowiednie współczynniki: 

$x^3:2=2$  

$x^2:a=-8$  

$x^1:b=2$  

$x^0:c=12$  

 

Znamy współczynniki a, b, c:

$\{\begin{array}{l}a=-8\\ b=2\\ c=12\end{array}$  

 

 

Teraz przejdziemy do rozwiązania nierówności. Skorzystamy ze znanej postaci iloczynowej wielomianu w:

$w\left(x\right)\ge x+1$  

$2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ge x+1\mid -\left(x+1\right)$   

$2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)-\left(x+1\right)\ge 0$    

Wyciągamy wyrażenie (x+1) przed nawias:

$\left(x+1\right)\left(2\left(x-2\right)\left(x-3\right)-1\right)\ge 0$  

$\left(x+1\right)\left(\left(2x-4\right)\left(x-3\right)-1\right)\ge 0$  

$\left(x+1\right)\left(2x^2-6x-4x+12-1\right)\ge 0$  

$\left(x+1\right)\underset{x_2=\frac{5+\sqrt{3}}{2}}{\underset{x_1=\frac{10-2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{5-\sqrt{3}}{2}}{\underset{\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}}{\underset{=100-88=12}{\underset{\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 2\cdot 11=}{\underbrace{\left(2x^2-10x+11\right)}}}}}}\ge 0$  

$\left(x+1\right)\cdot 2\left(x-\frac{5-\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{3}}{2}\right)\ge 0$  

$2\left(x+1\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{3}}{2}\right)\ge 0$  

 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej, więc zmieniamy w nich znak wykresu. 

Oszacujmy:

$\frac{5-\sqrt{3}}{2}\approx \frac{5-1,73}{2}=\frac{3,27}{2}=1,635$  

$\frac{5+\sqrt{3}}{2}\approx \frac{5+1,73}{2}=\frac{6,73}{2}=3,365$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨-1;\frac{5-\sqrt{3}}{2}⟩\cup ⟨\frac{5+\sqrt{3}}{2};+\infty )$