$a)$

Musimy rozpatrzyć dwa przypadki:

$2x^2-8<0\text{lub}2x^2-8\ge 0$

Rozwiążmy jedną z tych nierówności (rozwiązanie drugiej będzie dopełnieniem do zbioru liczb rzeczywistych rozwiązania pierwszej).

$2x^2-8<0\mid :2$

$x^2-4<0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)<0$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-2;2\right)$

 

Mamy więc rozwiązania obu przypadków: 

$2x^2-8<0\iff x\in \left(-2;2\right)$

$2x^2-8\ge 0\iff x\in (-\infty ;-2⟩\cup ⟨2;+\infty )$

 

 

Teraz w tych dwóch zbiorach rozpatrujemy wyjściową nierówność (opuszczając z odpowiednim znakiem wartość bezwzględną). 

 

$1)x\in \left(-2;2\right)$

$x^4-\left|2x^2-8\right|>0$

$x^4-\left(-\left(2x^2-8\right)\right)>0$

$x^4+2x^2-8>0$

Dokonajmy podstawienia: 

$x^2=t$

Zazwyczaj przy podstawieniu x²=t zakładamy, że t jest nieujemne (bo przecież kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Należy jednak zwrócić uwagę, że nie rozwiązujemy tutaj równania, a tylko chcemy znaleźć postać iloczynową, więc nie odrzucamy ujemnego t - po wróceniu do x² nie otrzymujemy z tego nawiasu będącego czynnikiem kwadratowym pierwiastków.

$\underset{x_2=\frac{-2+6}{2}=2}{\underset{t_1=\frac{-2-6}{2}=-4}{\underset{\sqrt{\Delta }=6}{\underset{=4+32-36}{\underset{\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=}{\underbrace{t^2+2t-8}}}}}}>0$

$\left(t+4\right)\left(t-2\right)>0$