Postać:

$y={\left(x-1\right)}^2+2$

to postać kanoniczna funkcji kwadratowej, więc możemy od razu podać współrzedne wierzchołka paraboli:

$W=\left(1;2\right)$

Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez jej wierzchołek (x=1). Jeśli dwa wierzchołki prostokąta leżą na ramionach paraboli, to zaznaczone jednakowym kolorem wierzchołki prostokąta także są symetryczne względem tej prostej:

 

 

Oznaczmy pierwszą współrzędną drugiego żółtego punktu jako t. Wtedy odległość wierzchołków zaznaczonych na żólto od punktu (1, 0) musi być więc jednakowa. Odległość punktu o pierwszej współrzędnej t od punktu (1, 0) jest równa (t-1) - jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi tych punktów. Odległość drugiego żółtego punktu od punktu (1; 0) musi być taka sama, a więc także równa (t-1). 

 

Dłuższy bok prostokąta ma więc długość: 

$2\left(t-1\right)$

 

Teraz wystarczy zauważyć, że możemy zapisać współrzędne jednego z wierzchołków zaznaczonych na niebiesko (należy on do paraboli, a jego pierwsza współrzędna jest równa t)

  

 

Długość krótszego boku prostokąta to odległość punktu, którego współrzędne przed chwilą zapisaliśmy, od osi OX. Ta odległość jest równa drugiej współrzędnej punktu: 

Znamy już długości obu boków prostokąta, możemy więc zapisać wielomian opisujący jego pole:

$P\left(t\right)=2\left(t-1\right)\cdot \left({\left(t-1\right)}^2+2\right)$

Oczywiście długości boków muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

$2\left(t-1\right)>0\left|:2\text{i}{\left(t-1\right)}^2+2>0\right|-2$