Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Dla jakich wartości parametru a 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wiemy, ze reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa w(a). Musi więc zachodzić warunek: 

`w(a)>1` 

 

 

Obliczmy w(a):

`w(a)=a^5-a^4-3a*a^2+(3a+2)*a-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1` 

 

Wracamy do nierówności:

`a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1>1\ \ \ |-1` 

`a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-2>0` 

`a^4(a-1)-3a^2(a-1)+2(a-1)>0` 

`(a-1)(a^4-3a^2+2)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`  

 

W drugim nawiasie dokonamy podstawienia:

`a^2=t` 

Zazwyczaj przy podstawieniu a2=t zakładamy, że t jest nieujemne (bo przecież kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Należy jednak zwrócić uwagę, że nie rozwiązujemy tutaj równania, a tylko chcemy znaleźć postać iloczynową, więc nie odrzucamy ujemnego t - po wróceniu do a2 nie otrzymujemy z tego nawiasu będącego czynnikiem kwadratowym pierwiastków.

Drugi nawias jest więc postaci:

`a^4-3a^2+2=#(#(#(#(#underbrace(t^2-3t+2)_(Delta=(-3)^2-4*1*2=))_(=9-8=1))_(sqrtDelta=1))_(t_1=(3-1)/2=1))_(x_2=(3+1)/2=2)=(t-1)(t-2)=(a^2-1)(a^2-2)=(a-1)(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)`  

 

Wracamy do nierówności oznaczonej gwiazdką:

`(a-1)(a-1)(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)>0` 

`(a-1)^2(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)>0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-sqrt2;\ -1)uu(sqrt2;\ +infty)`