Matematyka

Dla jakich wartości parametru a 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wiemy, ze reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa w(a). Musi więc zachodzić warunek: 

`w(a)>1`

 

 

Obliczmy w(a):

`w(a)=a^5-a^4-3a*a^2+(3a+2)*a-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1`

 

Wracamy do nierówności:

`a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1>1\ \ \ |-1`

`a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-2>0`

`a^4(a-1)-3a^2(a-1)+2(a-1)>0`

`(a-1)(a^4-3a^2+2)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

 

W drugim nawiasie dokonamy podstawienia:

`a^2=t`

Zazwyczaj przy podstawieniu a2=t zakładamy, że t jest nieujemne (bo przecież kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Należy jednak zwrócić uwagę, że nie rozwiązujemy tutaj równania, a tylko chcemy znaleźć postać iloczynową, więc nie odrzucamy ujemnego t - po wróceniu do a2 nie otrzymujemy z tego nawiasu będącego czynnikiem kwadratowym pierwiastków.

Drugi nawias jest więc postaci:

`a^4-3a^2+2=#(#(#(#(#underbrace(t^2-3t+2)_(Delta=(-3)^2-4*1*2=))_(=9-8=1))_(sqrtDelta=1))_(t_1=(3-1)/2=1))_(x_2=(3+1)/2=2)=(t-1)(t-2)=(a^2-1)(a^2-2)=(a-1)(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)`

 

Wracamy do nierówności oznaczonej gwiazdką:

`(a-1)(a-1)(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)>0`

`(a-1)^2(a+1)(a-sqrt2)(a+sqrt2)>0`

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-sqrt2;\ -1)uu(sqrt2;\ +infty)`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie pisemne
  1. Zapisujemy dzielną, nad nią kreskę, a obok, po znaku dzielenia, dzielnik. W naszym przykładzie podzielimy liczbę 1834 przez 14, inaczej mówiąc zbadamy ile razy liczba 14 „mieści się” w liczbie 1834.

    dzielenie1
     
  2. Dzielimy pierwszą cyfrę dzielnej przez dzielnik. Jeśli liczba ta jest mniejsza od dzielnika, to bierzemy pierwsze dwie lub więcej cyfr dzielnej i dzielimy przez dzielnik. Inaczej mówiąc, w dzielnej wyznaczamy taką liczbę, którą można podzielić przez dzielnik. Wynik dzielenia zapisujemy nad kreską, a resztę z dzielenia zapisujemy pod spodem (pod dzielną).

    W naszym przykładzie w dzielnej bierzemy liczbę 18 i dzielimy ją przez 14, czyli sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 18. Liczba 14 zmieści się w 18 jeden raz, jedynkę piszemy nad kreską (nad ostatnią cyfrą liczby 18, czyli nad 8). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 i wynik 14 wpisujemy pod liczbą 18, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 18-14=4 i wynik 4 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać następująco: 18÷14=1 reszty 4.

    dzielenie2
     
  3. Do wyniku odejmowania opisanego w punkcie 2, czyli do otrzymanej reszty z dzielenia dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik. Tak jak poprzednio wynik zapisujemy nad kreską, a pod spodem resztę z tego dzielenia.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: do 4 dopisujemy cyfrę 3 (czyli kolejną cyfrę, która znajduje się za liczbą 18) i otrzymujemy liczbę 43, którą dzielimy przez dzielnik 14. Inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 43. Liczba 14 zmieści się w 43 trzy razy, czyli 3 piszemy nad kreską (za 1), a następnie wykonujemy mnożenie 3•14=42i wynik 42 zapisujemy pod liczbą 43, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 43-42=1 i wynik 1 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać: 43÷14=3 reszty 1.

    dzielenie2
     
  4. Analogicznie jak poprzednio do otrzymanej reszty dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik.
    W naszym przykładzie:
    do 1 dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 4. Otrzymujemy liczbę 14, którą dzielimy przez dzielnik 14, w wyniku otrzymujemy 1 i wpisujemy ją nad kreską (po3). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 w wynik 14 zapisujemy pod 14, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 14-14=0.
    Opisane postępowanie możemy zapisać 14÷14=1, czyli otrzymaliśmy dzielenie bez reszty, co kończy nasze dzielenie.

    dzielenie3
     
  5. Wynik dzielenia liczby 1834 przez 14 znajduje się nad kreską, czyli otrzymujemy ostatecznie iloraz 1834÷14=131.

Obwód

Obwód wielokąta to suma długości boków danego wielokąta.

  1. Obwód prostokąta – dodajemy długości dwóch dłuższych boków i dwóch krótszych.

    Zatem prostokąt o wymiarach a i b ma obwód równy:
    Obwód prostokąta: $$Ob = 2•a+ 2•b$$.

    Przykład: Policzmy obwód prostokąta, którego boki mają długości 6 cm i 8 cm.

    ob_kwadrat

    $$Ob=2•8cm+2•6cm=16cm+12cm=28cm$$
     

  2. Obwód kwadratu – dodajemy długości czterech identycznych boków, zatem wystarczy pomnożyć długość boku przez cztery.

    Zatem kwadrat o boku długości a ma obwód równy:
    Obwód kwadratu: $$Ob = 4•a$$.

    Przykład: Policzmy obwód kwadratu o boku długości 12 cm.

    ob_prostokat

    $$Ob=4•12cm=48cm$$

 
Zobacz także
Udostępnij zadanie