Postać:

$y={\left(x-2\right)}^2$

to postać kanoniczna funkcji kwadratowej, więc możemy od razu podać współrzedne wierzchołka paraboli:

$W=\left(2;0\right)$

 

Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez jej wierzchołek (x=2). Jeśli dwa wierzchołki prostokąta leżą na ramionach paraboli, to zaznaczone jednakowym kolorem wierzchołki prostokąta także są symetryczne względem tej prostej:

  

Odległość wierzchołków zaznaczonych na niebiesko od punktu W musi być więc jednakowa. Odległość punktu o pierwszej współrzędnej t od punktu W jest równa (t-2) - jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi tych punktów. Odległość drugiego niebieskiego punktu od punktu W musi być taka sama, a więc także równa (t-2). 

Dłuższy bok prostokąta ma więc długość: 

$2\left(t-2\right)$

 

Teraz wystarczy zauważyć, że możemy zapisać współrzędne jednego z wierzchołków zaznaczonych na żółto (należy on do paraboli, a jego pierwsza współrzędna jest równa t)

 

Długość krótszego boku prostokąta to odległość punktu, którego współrzędne przed chwilą zapisaliśmy, od osi OX. Ta odległość jest równa drugiej współrzędnej punktu: 

 

Znamy już długości obu boków prostokąta, możemy więc zapisać wielomian opisujący jego pole:

$P\left(t\right)=2\left(t-2\right)\cdot {\left(t-2\right)}^2=2{\left(t-2\right)}^3$

 

Aby wyrażenie miało sens, długości boków muszą być wyrażone liczbami dodatnimi:

$2\left(t-2\right)>0\mid :2\text{i}{\left(t-2\right)}^2>0$  

$t-2>0$  

$t>2$  

Druga nierówność jest spełniona zawsze, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc w szczególności jest większy od zera. Możemy zapisać dziedzinę wielomianu P:

$D_P=\left(2;+\infty \right)$  

 

 

 

$a)$

$P\left(t\right)=54$

$2{\left(t-2\right)}^3=54\mid :2$

${\left(t-2\right)}^3=27$