Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż układ nierówności 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności: 

`(x+3)(x+2)(x-1)>=-6\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ (x+3)(x+2)(x-1)<=0` 

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

`(x+3)(x+2)(x-1)>=-6` 

`(x^2+2x+3x+6)(x-1)>=-6` 

`(x^2+5x+6)(x-1)>=-6` 

`x^3+5x^2+6x-x^2-5x-6>=-6` 

`x^3+4x^2+x-6>=-6\ \ \ \ |+6` 

`x^3+4x^2+x>=0` 

`x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 4x\ +\ 1))_(Delta=4^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-4-2sqrt3)/2=-2-sqrt3))_(x_2=-2+sqrt3)>=0` 

`x(x+2+sqrt3)(x+2-sqrt3)>=0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Oszacujmy jeszcze wartości pierwiastków: 

`-2-sqrt3~~-2-1,73=-3,73` 

`-2+sqrt3~~-2+1,73=-0,27` 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2-sqrt3;\ -2+sqrt3>>uu<<0;\ +infty)))`  

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

`(x+3)(x+2)(x-1)<=0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`ul(ul(x in (-infty;\ -3>>uu<<-2;\ 1>>))` 

 

Możemy teraz podać rozwiązanie układu nierówności: 

`(x in<<#(-2-sqrt3)^(^(~~-3,73));\ #(-2+sqrt3)^(^(~~-0,27))>>uu<<0;\ +infty) \ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3>>uu<<-2;\ 1>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul( x in<<-2-sqrt3;\ -3>>uu<<-2;\ -2+sqrt3>>uu<<0;\ 1>>)) ` 

 

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

 

`b)` 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności:

`x^3> -8\ \ \ \ "i"\ \ \ \ x^3<=x|x+2|` 

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

`x^3> -8\ \ \ \ |+8` 

`x^3+8>0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: 

`x^3+2^3>0` 

`(x+2)#underbrace((x^2\ -\ 2x\ +\ 4))_(Delta=(-2)^2-4*1*4<0)>0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:  

`(x+2)(x^2-2x+4)>0\ \ \ \ \ \ \ \ |:(x^2-2x+4)>0` 

`x+2>0\ \ \ \ |-2` 

`x> -2` 

Mamy więc rozwiązanie pierwszej nierówności: 

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))` 

 

 

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

`x^3<=x|x+2|` 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

`1)\ x+2<0\ \ \ \ =>\ \ \ \ x < -2\ \ \ =>\ \ \ x in (-infty;\ -2)` 

Wtedy możemy opuścić wartość bezwzględną ze zmianą znaku: 

`\ \ \ \ x^3<=-x(x+2)` 

`\ \ \ \ x^3<=-x^2-2x\ \ \ \ |+x^2+2x` 

`\ \ \ \ x^3+x^2+2x<=0` 

`\ \ \ \ x #underbrace((x^2\ +\ x\ +\ 2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)<=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:   

`\ \ \ \ x(x^2+x+2)<=0\ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+x+2)>0` 

`\ \ \ \ x<=0` 

`\ \ \ \ x in (-infty;\ 0>>` 

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`\ \ \ \ (x in (-infty;\ 0>>\ \ \ "i"\ \ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -2)))` 

 

 

`2)\ x+2>=0\ \ \ =>\ \ \ x >=-2\ \ \ =>\ \ \ x in <<-2;\ +infty)` 

Możemy opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

`\ \ \ \ x^3<=x(x+2)` 

`\ \ \ \ x^3<=x^2+2x\ \ \ \ |-x^2-2x` 

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x<=0`  

`\ \ \ \ x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 2))_(Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrtDelta=3))_(x_1=(1-3)/2=-1))_(x_2=(1+3)/2=2)<=0`  

`\ \ \ \ x(x+1)(x-2)<=0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>` 

 

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))` 

 

Możemy zapisać zbiór rozwiązań drugiej nierówności:

`(x in (-infty;\ -2)\ \ \ "lub"\ \ \ x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))` 

 

Teraz możemy zapisać zbiór rozwiązań układu nierówności: 

`(x in (-2;\ +infty)\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))`