Matematyka

Rozwiąż układ nierówności 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Mamy do rozwiązania dwie nierówności: 

`(x+3)(x+2)(x-1)>=-6\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ (x+3)(x+2)(x-1)<=0`

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

`(x+3)(x+2)(x-1)>=-6`

`(x^2+2x+3x+6)(x-1)>=-6`

`(x^2+5x+6)(x-1)>=-6`

`x^3+5x^2+6x-x^2-5x-6>=-6`

`x^3+4x^2+x-6>=-6\ \ \ \ |+6`

`x^3+4x^2+x>=0`

`x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 4x\ +\ 1))_(Delta=4^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-4-2sqrt3)/2=-2-sqrt3))_(x_2=-2+sqrt3)>=0`

`x(x+2+sqrt3)(x+2-sqrt3)>=0`

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Oszacujmy jeszcze wartości pierwiastków: 

`-2-sqrt3~~-2-1,73=-3,73`

`-2+sqrt3~~-2+1,73=-0,27`

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2-sqrt3;\ -2+sqrt3>>uu<<0;\ +infty)))`

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

`(x+3)(x+2)(x-1)<=0`

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`ul(ul(x in (-infty;\ -3>>uu<<-2;\ 1>>))`

 

Możemy teraz podać rozwiązanie układu nierówności: 

`(x in<<#(-2-sqrt3)^(^(~~-3,73));\ #(-2+sqrt3)^(^(~~-0,27))>>uu<<0;\ +infty) \ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3>>uu<<-2;\ 1>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul( x in<<-2-sqrt3;\ -3>>uu<<-2;\ -2+sqrt3>>uu<<0;\ 1>>)) `

 

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

 

`b)`

Mamy do rozwiązania dwie nierówności:

`x^3> -8\ \ \ \ "i"\ \ \ \ x^3<=x|x+2|`

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

`x^3> -8\ \ \ \ |+8`

`x^3+8>0`

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: 

`x^3+2^3>0`

`(x+2)#underbrace((x^2\ -\ 2x\ +\ 4))_(Delta=(-2)^2-4*1*4<0)>0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:  

`(x+2)(x^2-2x+4)>0\ \ \ \ \ \ \ \ |:(x^2-2x+4)>0`

`x+2>0\ \ \ \ |-2`

`x> -2`

Mamy więc rozwiązanie pierwszej nierówności: 

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))`

 

 

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

`x^3<=x|x+2|`

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

`1)\ x+2<0\ \ \ \ =>\ \ \ \ x < -2\ \ \ =>\ \ \ x in (-infty;\ -2)`

Wtedy możemy opuścić wartość bezwzględną ze zmianą znaku: 

`\ \ \ \ x^3<=-x(x+2)`

`\ \ \ \ x^3<=-x^2-2x\ \ \ \ |+x^2+2x`

`\ \ \ \ x^3+x^2+2x<=0`

`\ \ \ \ x #underbrace((x^2\ +\ x\ +\ 2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)<=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:   

`\ \ \ \ x(x^2+x+2)<=0\ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+x+2)>0`

`\ \ \ \ x<=0`

`\ \ \ \ x in (-infty;\ 0>>`

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`\ \ \ \ (x in (-infty;\ 0>>\ \ \ "i"\ \ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -2)))`

 

 

`2)\ x+2>=0\ \ \ =>\ \ \ x >=-2\ \ \ =>\ \ \ x in <<-2;\ +infty)`

Możemy opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

`\ \ \ \ x^3<=x(x+2)`

`\ \ \ \ x^3<=x^2+2x\ \ \ \ |-x^2-2x`

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x<=0`

`\ \ \ \ x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 2))_(Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrtDelta=3))_(x_1=(1-3)/2=-1))_(x_2=(1+3)/2=2)<=0`

`\ \ \ \ x(x+1)(x-2)<=0`

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>`

 

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))`

 

Możemy zapisać zbiór rozwiązań drugiej nierówności:

`(x in (-infty;\ -2)\ \ \ "lub"\ \ \ x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))`

 

Teraz możemy zapisać zbiór rozwiązań układu nierówności: 

`(x in (-2;\ +infty)\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))`

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

Zobacz także
Udostępnij zadanie