Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Na rysunku przedstawiono 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Iloczyn:

`(x^3+x)*f(x)` 

będzie dodatni, jeśli oba czynniki będą jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne. 

Z wykresu odczytujemy, że:

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-2;\ 0)`  

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty;\ -2)uu(0;\ 1)uu(1;\ +infty)` 

 

Teraz narysujemy wykres wielomianu:

`w(x)=x^3+x=x#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)` 

Zauważmy, że drugie wyrażenie jest czynnikiem kwadratowym o ujemnej delcie, współczynnik przy x² jest dodatni, więc czynnik kwadratowy przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc dzielić przez niego, bez zmiany znaku nierówności.

`x(x^2+1)>0\ \ \ |:x^2+1>0` 

`x>0` 

 

 

`x(x^2+1)<0\ \ \ |:x^2+1>0` 

`x<0` 

 

Wiemy już zatem, że:

`x^3+x>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (0;\ +infty)` 

`x^3+x<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty;\ 0)` 

 

 

Wyjściowa nierówność będzie spełniona (tak jak zauważyliśmy na początku), gdy oba czynniki będą dodatnie lub gdy oba czynniki będą ujemne:

`{(f(x)>0), (x^3+x>0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ {(f(x)<0), (x^3+x<0):}`         

`{(x in (-2;\ 0)), (x in (0;\ +infty)):}\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ {(x in (-infty;\ -2)uu(0;\ 1)uu(1;\ +infty)), (x in (-infty;\ 0)):}`    

Pierwszy układ nie daje rozwiązania, otrzymujemy je z drugiego układu:

`ul(ul(x in (-infty;\ -2)))\ \ \ \ \ \ \ odp.\ B`