$a)$

$w\left(x\right)=x^3+2x^2-5x-6$

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -6. Dzielniki -6 to: -6, -3, -2, -1. 1, 2, 3, 6. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=1^3+2\cdot 1^2-5\cdot 1-6=1+2-5-6\ne 0$

$w\left(2\right)=2^3+2\cdot 2^2-5\cdot 2-6=8+8-10-6=0$

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\underset{x_2=\frac{-4+2}{2}=-1}{\underset{x_1=\frac{-4-2}{2}=-3}{\underset{\sqrt{\Delta }=2}{\underset{=16-12=4}{\underset{\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=}{\underbrace{\left(x^2+4x+3\right)}}}}}}=\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+1\right)$

Pierwiastki wielomianu w:

$\underset{\text{krotnosˊcˊ 1}}{\underbrace{x=2}}\text{lub}\underset{\text{krotnosˊcˊ 1}}{\underbrace{x=-3}}\text{lub}\underset{\text{krotnosˊcˊ 1}}{\underbrace{x=-1}}$

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Wszystkie pierwiastki mają krotności nieparzyste, więc wykres w każdym pierwiastku zmienia znak.

$w\left(x\right)\le 0\iff x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨-1,2⟩$

$\underline{\underline{}}$

$b)$

$w\left(x\right)=x^3-7x^2+16x-12$

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -12. Dzielniki -12 to: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(2\right)=2^3-7\cdot 2^2+16\cdot 2-12=$

$=8-7\cdot 4+32-12=$