Matematyka

Wyznacz pierwiastki wielomianu w 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`w(x)=x^3+2x^2-5x-6`

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -6. Dzielniki -6 to: -6, -3, -2, -1. 1, 2, 3, 6. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^3+2*1^2-5*1-6=1+2-5-6ne0`

`w(2)=2^3+2*2^2-5*2-6=8+8-10-6=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2+4x+3))_(Delta=4^2-4*1*3=))_(=16-12=4))_(sqrtDelta=2))_(x_1=(-4-2)/2=-3))_(x_2=(-4+2)/2=-1)=(x-2)(x+3)(x+1)`

 

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=2)_("krotność 1")\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ #underbrace(x=-3)_("krotność 1")\ \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ \ #underbrace(x=-1)_("krotność 1")`

 

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Wszystkie pierwiastki mają krotności nieparzyste, więc wykres w każdym pierwiastku zmienia znak.

 

 

`w(x)<=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-3;\ -1>>uu<<2;\ +infty)`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`w(x)=x^3-7x^2+16x-12`

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -12. Dzielniki -12 to: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(2)=2^3-7*2^2+16*2-12=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8-7*4+32-12=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8-28+32-12=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2-5x+6))_(Delta=(-5)^2-4*1*6=))_(=25-24=1))_(sqrtDelta=1))_(x_1=(5-1)/2=2))_(x_2=(5+1)/2=3)=(x-2)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3)`

 

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=2)_("krotność 2")\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ #underbrace(x=3)_("krotność 1")`

 

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

`w(x)<=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<2;\ 3>>`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`w(x)=x^4-x^3-x^2-x-2`

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4-1^3-1^2-1-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-1-1-2=-4ne0`

`w(-1)=(-1)^4-(-1)^3-(-1)^2-(-1)-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-1+1-2=0`

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x+1)(x^3-2x^2+x-2)=(x+1)(x^3+x-2x^2-2)=(x+1)(x(x^2+1)-2(x^2+1))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+1)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)(x-2)`

 

 

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=-1)_("krotność 1")\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ #underbrace(x=2)_("krotność 1")`

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

`w(x)<=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1;\ 2>>`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`w(x)=-4x^4-x^2+3x-1`

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -1. Dzielniki -1 to:  -1, 1. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=-4*1^4-1^2+3*1-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-4-1+3-1=-3ne0`

`w(-1)=-4*(-1)^4-(-1)^2+3*(-1)-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-4-1-3-1ne0`

Nie ma pierwiastków całkowitych, więc szukamy pierwiastków wymiernych. 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze. Dzielniki wyrazu wolnego to 1 i -1, a dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Szukamy pierwiastków wymiernych: 

`w(1/2)=-4*(1/2)^4-(1/2)^2+3*1/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4*1/16-1/4+3/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4-1/4+3/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2/4+3/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/2+3/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2/2-1=1-1=0`

 

 

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1/2)#underbrace((-4x^3-2x^2-2x+2))_(u(x))`

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu u (wśród takich liczb, jak poprzednio, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(1/2)=-4*(1/2)^3-2*(1/2)^2-2*1/2+2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4*1/8-2*1/4-1+2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/2-1/2-1+2=0`

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1/2)(x-1/2)(-4x^2-4x-4)=-4(x-1/2)^2#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1<0)`

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=1/2)_("krotność 1")`

 

Mamy jeszcze do rozwiązania nierówność:

`w(x)<=0`

`-4(x-1/2)^2(x^2+x+1)<=0\ \ \ |:(-4)`

`(x-1/2)^2(x^2+x+1)>=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik stojący przy x² jest dodatni, więc parabola znajduje się nad osią x - funkcja kwadratowa w całej swojej dziedzinie jest dodatnia. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku.  

`(x-1/2)^2(x^2+x+1)>=0\ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+x+1)>0`

`(x-1/2)^2>=0`

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. 

`x in RR`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Skala i plan

Przy wykonywaniu rysunków niektórych przedmiotów lub sporządzaniu map, planów musimy zmniejszyć rzeczywiste wymiary przedmiotów, aby rysunki zmieściły się na kartce. Są też rzeczy niewidoczne dla oka, które obserwujemy za pomocą mikroskopu, wówczas rysunki przedstawiamy w powiększeniu.
W tym celu stosujemy pewną skalę. Skala określa, ile razy dany obiekt został pomniejszony lub powiększony. Rozróżniamy zatem skale zmniejszające i zwiększające.

Skala 1:2 („jeden do dwóch”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy mniejszy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy mniejsze od rzeczywistych.

Skala 2:1 („dwa do jednego”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy większy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy większe od rzeczywistych.

Skala 1:1 oznacza, że przedstawiony obiekt jest taki sam jak rzeczywisty.

Przykład:

skala
 

Prostokąt środkowy jest wykonany w skali 1:1. Mówimy, że jest naturalnej wielkości. Prostokąt po lewej stronie został narysowany w skali 1:2, czyli jego wszystkie wymiary zostały zmniejszone dwa razy. Prostokąt po prawej stronie został narysowany w skali 2:1, czyli jego wszystkie wymiary zostały zwiększone dwa razy.

 

Przykłady na odczytywanie skali:

  • skala 1:50 oznacza zmniejszenie 50 razy
  • skala 20:1 oznacza zwiększenie 20 razy
  • skala 1:8 oznacza zmniejszenie 8 razy
  • skala 5:1 oznacza zwiększenie 5 razy
 

Plan to obraz niewielkiego obszaru, terenu, przedstawiony na płaszczyźnie w skali. Plany wykonuje się np. do przedstawienia pokoju, mieszkania, domu, rozkładu ulic w osiedlu lub mieście.

Mapa to podobnie jak plan obraz obszaru, tylko większego, przedstawiony na płaszczyźnie w skali (mapa musi uwzględniać deformację kuli ziemskiej). Mapy to rysunki terenu, kraju, kontynentu.

Skala mapy
Na mapach używa się skali pomniejszonej np. 1:1000000. Oznacza to, że 1 cm na mapie oznacza 1000000 cm w rzeczywistości (w terenie).

Przykłady na odczytywanie skali mapy
  • skala 1:500000 oznacza, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości
  • skala 1:2000 oznacza, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości
Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Zobacz także
Udostępnij zadanie