Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`x^3>x^4\ \ \ |-x^4`

`-x^4+x^3>0`

`#underbrace(-x^3(x-1))_(w(x))>0`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie od dołu po prawej stronie. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (3) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Liczba 1 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`x in (0;\ 1)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) `

 

 

 

`b)`

`x^4+3x^3> -10x^2\ \ \ |+10x^2`

`x^4+3x^3+10x^2>0`

`x^2#underbrace((x^2+3x+10))_(Delta=3^2-4*1*10<0)>0`

Zauważmy, że czynnik kwadratowy ma dodatni współczynnik a (równy 1) oraz ujemną deltę, co oznacza, że jest on dodatni. Możemy więc podzielić bez zmiany kierunku nierówności:

`x^2(x^2+3x+10)>0\ \ \ :x^2+3x+10ne0`

`x^2>0`

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny. Rozwiązaniem nierówności są więc wszystkie liczby różne od zera. 

`xne0`

`x in (-infty;\ 0)uu(0;\ +infty)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`2x^4-4x^2>3x^2-6\ \ \ |-3x^2+6`

`2x^4-4x^2-3x^2+6>0`

`2x^2(x^2-2)-3(x^2-2)>0`

`(x^2-2)(2x^2-3)>0`

`2(x^2-2)(x^2-3/2)>0`

`2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-sqrt(3/2))(x+sqrt(3/2))>0`

Zauważmy, że zachodzi równość:

`sqrt(3/2)=sqrt3/sqrt2=(sqrt3*sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=sqrt6/2`

 

`2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-sqrt6/2)(x+sqrt6/2)>0`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc w każdym z nich wykres zmienia znak.

  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`x in (-infty;\ -sqrt2)uu(-sqrt6/2;\ sqrt6/2)uu(sqrt2;\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`7x-x^3>6\ \ \ |-6`

`-x^3+7x-6>0\ \ \ |*(-1)`

`#underbrace((x^3-7x+6))_(w(x))<0`

 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 6. Dzielniki 6 to: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^3-7*1+6=1-7+6=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1)#(#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ x\ -\ 6))_(Delta=1^2-4*1*(-6)=))_(=1+24=25))_(sqrtDelta=5))_(x_1=(-1-5)/2=-3))_(x_2=(-1+5)/2=2)=(x-1)(x+3)(x-2)`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc w każdym z nich wykres zmienia znak.

 

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -3)uu(1;\ 2)`

 

` `