Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`x^3>x^4\ \ \ |-x^4`

`-x^4+x^3>0`

`#underbrace(-x^3(x-1))_(w(x))>0`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie od dołu po prawej stronie. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (3) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Liczba 1 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`x in (0;\ 1)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) `

 

 

 

`b)`

`x^4+3x^3> -10x^2\ \ \ |+10x^2`

`x^4+3x^3+10x^2>0`

`x^2#underbrace((x^2+3x+10))_(Delta=3^2-4*1*10<0)>0`

Zauważmy, że czynnik kwadratowy ma dodatni współczynnik a (równy 1) oraz ujemną deltę, co oznacza, że jest on dodatni. Możemy więc podzielić bez zmiany kierunku nierówności:

`x^2(x^2+3x+10)>0\ \ \ :x^2+3x+10ne0`

`x^2>0`

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny. Rozwiązaniem nierówności są więc wszystkie liczby różne od zera. 

`xne0`

`x in (-infty;\ 0)uu(0;\ +infty)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`2x^4-4x^2>3x^2-6\ \ \ |-3x^2+6`

`2x^4-4x^2-3x^2+6>0`

`2x^2(x^2-2)-3(x^2-2)>0`

`(x^2-2)(2x^2-3)>0`

`2(x^2-2)(x^2-3/2)>0`

`2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-sqrt(3/2))(x+sqrt(3/2))>0`

Zauważmy, że zachodzi równość:

`sqrt(3/2)=sqrt3/sqrt2=(sqrt3*sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=sqrt6/2`

 

`2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-sqrt6/2)(x+sqrt6/2)>0`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc w każdym z nich wykres zmienia znak.

  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`x in (-infty;\ -sqrt2)uu(-sqrt6/2;\ sqrt6/2)uu(sqrt2;\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`7x-x^3>6\ \ \ |-6`

`-x^3+7x-6>0\ \ \ |*(-1)`

`#underbrace((x^3-7x+6))_(w(x))<0`

 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 6. Dzielniki 6 to: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^3-7*1+6=1-7+6=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1)#(#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ x\ -\ 6))_(Delta=1^2-4*1*(-6)=))_(=1+24=25))_(sqrtDelta=5))_(x_1=(-1-5)/2=-3))_(x_2=(-1+5)/2=2)=(x-1)(x+3)(x-2)`

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc w każdym z nich wykres zmienia znak.

 

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -3)uu(1;\ 2)`

 

` `

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Zobacz także
Udostępnij zadanie