$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^4-4x^3-5x^2}}>0$

 

Najpierw zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej, a dopiero potem przejdziemy do rozwiązania nierówności. 

$w\left(x\right)=x^4-4x^3-5x^2=x^2\underset{x_2=\frac{4+6}{2}=5}{\underset{x_1=\frac{4-6}{2}=-1}{\underset{\sqrt{\Delta }=6}{\underset{=16+20=36}{\underset{\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=}{\underbrace{\left(x^2-4x-5\right)}}}}}}=x^2\left(x+1\right)\left(x-5\right)$

Mamy więc do rozwiązania nierówność:

$x^2\left(x+1\right)\left(x-5\right)>0$

 

 

Szkicujemy wykres wielomianu w.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności parzystej (2) wielomianu - wykres nie zmienia tam znaku.      

Liczba -1 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba 5 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(5;+\infty \right)$

---

$b)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^4-6x^3+9x^2}}\ge 0$

Najpierw zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej, a dopiero potem przejdziemy do rozwiązania nierówności. Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$w\left(x\right)=x^4-6x^3+9x^2={\left(x^2\right)}^2-2\cdot x^2\cdot 3x+{\left(3x\right)}^2={\left(x^2-3x\right)}^2={\left(x\left(x-3\right)\right)}^2$