$a)$

$w\left(x\right)=\left(x-5\right)\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-ax+5\right)}}$

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

$u\left(5\right)=0$

$5^2-a\cdot 5+5=0$

$25-5a+5=0$

$30-5a=0\mid -30$

$-5a=-30\mid :\left(-5\right)$

$a=6$

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

$u\left(x\right)=\underset{x_2=\frac{6+4}{2}=5}{\underset{x_1=\frac{6-4}{2}=1}{\underset{\sqrt{\Delta }=4}{\underset{36-20=16}{\underset{\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=}{\underbrace{x^2-6x+5}}}}}}=\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

$\underline{\underline{a=6}}$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$b)$

$w\left(x\right)=\left(x^2+a^{2}x-3a-9\right)\left(x^2-9\right)=\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2+a^{2}x-3a-9\right)}}\left(x-3\right)\left(x+3\right)$

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

$u\left(3\right)=0$

$3^2+a^2\cdot 3-3a-9=0$