Zapiszmy warunki, które muszą być spełnione. 

Wiemy, że szukany wielomian w(x) przy dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę 2, czyli:

$w\left(1\right)=2$

 

Wielomian ma także pierwiastek trzykrotny równy ½, więc w rozkładzie wielomianu na czynniki na pewno pojawia się czynnik:

${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3$

 

 

$a)$

Wielomian jest stopnia trzeciego, więc jego jedyny pierwiastek to pierwiastek trzykrotny równy ½. 

$w\left(x\right)=a{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3$

Wartość współczynnika a obliczymy, korzystając z warunku:

$w\left(1\right)=2$

$a\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^3=2$

$a\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=2$

$a\cdot \frac{1}{8}=2\mid \cdot 8$

$a=16$

$\underline{\underline{w\left(x\right)=16{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3}}$

Jest to jedyny wielomian stopnia trzeciego spełniający warunki zadania. 

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

 

$b)$

Wiemy, że wielomian ma jeden pierwiastek trzykrotny oraz że jego stopień jest równy cztery, więc musi mieć jeszcze jeden pierwiastek jednokrotny. 

Wielomian jest postaci:

$w\left(x\right)=a{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3\left(x-b\right)$

 

Wiemy, że musi być spełniony warunek:

$w\left(1\right)=2$

$a{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^3\left(1-b\right)=2$

$a\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\left(1-b\right)=2$

$\frac{1}{8}a\left(1-b\right)=2\mid \cdot 8$

$a\left(1-b\right)=16$

 

Istnieje więcej liczb spełniających te warunki, na przykład:

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-15\end{array}\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-3\end{array}\{\begin{array}{l}a=8\\ b=-1\end{array}$

Przykładowe wielomiany:

$w\left(x\right)={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3\left(x+15\right)$

$w\left(x\right)=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3\left(x+3\right)$

$w\left(x\right)=8{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3\left(x+1\right)$

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$c)$

Wiemy, że wielomian ma jeden pierwiastek trzykrotny oraz że jego stopień jest równy sześć, więc wielomian, poza pierwiastkiem trzykrotnym, może mieć jeszcze:

• inny pierwiastek trzykrotny
• jeden pierwiastek jednokrotny i jeden pierwiastek dwukrotny
• trzy różne pierwiastki jednokrotne
• jeden pierwiastek jednokrotny oraz jeden czynnik kwadratowy o ujemnej delcie

 

Pokażemy, że istnieje kilka takich wielomianów. 

Niech pierwszy wielomian poza danym pierwiastkiem ma jeszcze pierwiastek trzykrotny równy zero:

$w\left(x\right)=a{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^3$

Wiemy, że ma zachodzić warunek:

$w\left(1\right)=2$

$a\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot 1^3=2$

$\frac{1}{8}a\cdot 1=2\mid \cdot 8$

$a=16$

Możemy zapisać wzór wielomianu w:

$\underline{\underline{w\left(x\right)=16{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^3}}$

 

 

Niech drugi wielomian ma pieriwastek dwukrotny równy 0 oraz pierwiastek jednokrotny równy 2:

$w\left(x\right)=a{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^2\left(x-2\right)$

Wiemy, że ma zachodzić warunek: 

$w\left(1\right)=2$

$a\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot 1^2\cdot \left(1-2\right)=2$

$a\cdot \frac{1}{8}\cdot 1\cdot \left(-1\right)=2\mid \cdot \left(-8\right)$

$a=-16$

Możemy zapisać wzór wielomianu w:

$\underline{\underline{w\left(x\right)=-16{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^2\left(x-2\right)}}$