Niech a będzie pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu. Wielomian w(x) jest stopnia trzeciego, więc jeśli ma pierwiastek dwukrotny, to musi mieć jeszcze jakiś pierwiastek jednokrotny (bo wielomian trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki, a jeśli mamy pierwiastek dwukrotny, to w rozkładzie mamy czynnik (x-a)², więc musimy mieć jeszcze pewien czynnik liniowy (x-b) - b jednokrotny pierwiastek wielomianu). 

Musi zachodzić więc równość:

$x^3-12x+k={\left(x-a\right)}^2\left(x-b\right)$

$x^3-12x+k=\left(x^2-2ax+a^2\right)\left(x-b\right)$

$x^3-12x+k=x^3-b{x}^2-2a{x}^2+2abx+a^{2}x-a^{2}b$