$\underline{\underline{\text{uwaga}}}$

Indeksy dolne często są niewygodne w obliczeniach (łatwo się pomylić), dlatego przyjmijmy następujące oznaczenia:

$x_1=a$

$x_2=b$

 

Zauważmy, że w obu podpunktach wielomian w jest wielomianem stopnia trzeciego, więc jeśli wiemy, że ma on pierwiastek jednokrotny x₁=a oraz pierwiastek dwukrotny x₂=b, to oznacza to, że nie może on już mieć więcej pierwiastków (ponieważ wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki liczone z krotnościami). 

 

W obu podpunktach współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1. Wielomian w(x) jest więc postaci:

$w\left(x\right)=1\cdot \left(x-a\right){\left(x-b\right)}^2=\left(x-a\right)\left(x^2-2xb+b^2\right)=$

$=x^3-2x^{2}b+b^{2}x-a{x}^2+2abx-a{b}^2=$

Porządkujemy wielomian ze względu na zmienną x:

$=x^3+\left(-2b-a\right)x^2+\left(b^2+2ab\right)x-a{b}^2$

 

 

$a)$

Wiemy, że drugi pierwiastek jest trzy razy mniejszy od pierwszego pierwiastka, czyli:

$a=3b$

 

Podstawimy tą informację do wzoru na wielomian w:

$w\left(x\right)=x^3+\left(-2b-a\right)x^2+\left(b^2+2ab\right)x-a{b}^2=$