Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Rozwiąż równanie. Podaj krotność 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Będziemy korzystać z twierdzenia mówiącego o tym, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

 

`a)`

`#underbrace(x^3+3x^2-4)_(w(x))=0`

Wyraz wolny to -4. Dzielniki -4 to: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^3+3*1^2-4=1+3-4=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^2+4x+4)=0`

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

`(x-1)(x+2)^2=0`

`#underbrace(x=1)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 2")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

`#underbrace(x^3-7x^2+15x-9)_(w(x))=0`

Wyraz wolny to -9. Dzielniki -9 to: -9, -3, -1, 1, 3, 9. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^3-7*1^2+15*1-9=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1-7+15-9=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^2-6x+9)=0`

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`(x-1)(x-3)^2=0`

`#underbrace(x=1)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=3)_("krotność 2")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`c)`

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

`x^5-2x^4+9x^2=4-2x+9/2x^3\ \ \ \ |*2`

`2x^5-4x^4+18x^2=8-4x+9x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-8+4x-9x^3`

`2x^5-4x^4-9x^3+18x^2+4x-8=0`

`2x^4(x-2)-9x^2(x-2)+4(x-2)=0`

`(x-2)(2x^4-9x^2+4)=0`

 

Zajmijmy się drugim czynnikiem. Jest to tzw. równanie dwukwadratowe. Oznacza to, że dokonując podstawienia:

`x^2=t,\ \ \ \ t>=0`

otrzymamy równanie kwadratowe. Przyjmujemy, że t jest nieujemne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej x jest nieujemny. 

Dokonajmy więc podstawienia:

`2t^2-9t+4=0`

`Delta=(-9)^2-4*2*4=81-32=49`

`sqrtDelta=7`

`t_1=(9-7)/(2*2)=2/4=1/2>=0`

`t_2=(9+7)/(2*2)=16/4=4>=0`

Oba otrzymane rozwiązania są nieujemne. Wracamy więc do podstawienia.

`x^2=1/2\ \ \ =>\ \ \ x=sqrt(1/2)=sqrt1/sqrt2=1/sqrt2=sqrt2/(sqrt2*sqrt2)=sqrt2/2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2/2`

`x^2=4\ \ \ =>\ \ \ x=2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2`

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)(x-sqrt2/2)(x+sqrt2/2)(x-2)(x+2)=0`

`(x-2)^2(x-sqrt2/2)(x+sqrt2/2)(x+2)=0`

`#underbrace(x=2)_("krotność 2")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=sqrt2/2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-sqrt2/2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`d)`

`x^6-3x^4+3x^2-1=0`

`x^6-1-3x^4+3x^2=0`

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów; dla przypomnienia podajemy ten wzór:

`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

Wracamy do równania: 

`(x^2)^3-1^3-3x^2(x^2-1)=0`

`(x^2-1)(x^4+x^2+1)-3x^2(x^2-1)=0`

`(x^2-1)(x^4+x^2+1-3x^2)=0`

`(x^2-1^2)(x^4-2x^2+1)=0`

Pierwszy czynnik rozpisujemy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x-1)(x+1)(x^4-2x^2+1)=0`

Zauważamy, że drugi czynnik można rozpisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`(x-1)(x+1)(x^2-1)^2=0`

`(x-1)(x+1)((x-1)(x+1))^2=0`

`(x-1)(x+1)(x-1)^2(x+1)^2=0`

`(x-1)^3(x+1)^3=0`

`#underbrace(x=1)_("krotność 3")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1)_("krotność 3")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`e)`

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

`x^3(x^2-x-3)=2x-5x^2`

`x^5-x^4-3x^3=2x-5x^2\ \ \ \ \ |-2x+5x^2`

`x^5-x^4-3x^3+5x^2-2x=0`

`x#underbrace((x^4-x^3-3x^2+5x-2))_(w(x))=0`

Wyraz wolny wielomianu w to -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2 Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^4-1^3-3*1^2+5*1-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-3+5-2=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równość w następującej postaci:

`x(x-1)(x^3-3x+2)=0`

`x(x-1)(x^3-x-2x+2)=0`

`x(x-1)[x(x^2-1)-2(x-1)]=0`

`x(x-1)[x(x-1)(x+1)-2(x-1)]=0`

`x(x-1)[(x-1)(x(x+1)-2)]=0`

`x(x-1)(x-1)(x^2+x-2)=0`

`x(x-1)^2#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ x\ -\ 2))_(Delta=1^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrtDelta=3))_(x_1=(-1-3)/2=-2))_(x_2=(-1+3)/2=1)=0`

`x(x-1)^2(x+2)(x-1)=0`

`x(x-1)^3(x+2)=0`

`#underbrace(x=0)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=1)_("krotność 3")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`f)`

`x^2(x^2+2x-6)=8(x-1)`

`x^4+2x^3-6x^2=8x-8\ \ \ \ \ \ \ \ |-8x+8`

`#underbrace(x^4+2x^3-6x^2-8x+8)_(w(x))=0`

Wyraz wolny wielomianu w to 8. Dzielniki 8 to: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(2)=2^4+2*2^3-6*2^2-8*2+8=`

`\ \ \ \ \ \ \ =16+2*8-6*4-16+8=`

`\ \ \ \ \ \ \ =16+16-24-16+8=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)#underbrace((x^3+4x^2+2x-4))_(u(x))=0`

Szukamy pierwiastków wielomianu u wśród dzielników -4.

`u(-2)=(-2)^3+4*(-2)^2+2*(-2)-4=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-8+4*4-4-4=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-8+16-4-4=0`

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)(x+2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 2))_(Delta=2^2-4*1*(-2)=))_(=4+8=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-2-2sqrt3)/2=-1-sqrt3))_(x_2=-1+sqrt3)=0`

`(x-2)(x+2)(x+1+sqrt3)(x+1-sqrt3)=0`

`#underbrace(x=2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1-sqrt3)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1+sqrt3)_("krotność 1")`

  

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanego działania, najważniejsze jest zachowanie kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Wykonywanie działań w nawiasach;

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie;

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje dzielenie lub zarówno mnożenie, jak i dzielenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej strony).
    Przykład: $$16÷2•5=8•5=40$$;

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje odejmowanie lub zarówno dodawanie, jak i odejmowanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej strony do prawej).
    Przykład: $$24 - 6 +2 = 18 + 2 = 20$$.

Przykład:

$$(45-9•3)-4=(45-27)-4=18-4=14 $$
 
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Zobacz także
Udostępnij zadanie