Będziemy korzystać z twierdzenia mówiącego o tym, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

 

$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+3x^2-4}}=0$

Wyraz wolny to -4. Dzielniki -4 to: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

$w\left(1\right)=1^3+3\cdot 1^2-4=1+3-4=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-1\right)\left(x^2+4x+4\right)=0$

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2=0$

$\underset{\text{krotnosˊcˊ 1}}{\underbrace{x=1}}\text{lub}\underset{\text{krotnosˊcˊ 2}}{\underbrace{x=-2}}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$b)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-7x^2+15x-9}}=0$

Wyraz wolny to -9. Dzielniki -9 to: -9, -3, -1, 1, 3, 9. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

$w\left(1\right)=1^3-7\cdot 1^2+15\cdot 1-9=$

$=1-7+15-9=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-1\right)\left(x^2-6x+9\right)=0$

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$\left(x-1\right){\left(x-3\right)}^2=0$

$\underset{\text{krotnosˊcˊ 1}}{\underbrace{x=1}}\text{lub}\underset{\text{krotnosˊcˊ 2}}{\underbrace{x=3}}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$c)$

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

$x^5-2x^4+9x^2=4-2x+\frac{9}{2}{x}^3\mid \cdot 2$

$2x^5-4x^4+18x^2=8-4x+9x^3\mid -8+4x-9x^3$