Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Dany jest wielomian 4.4 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"założenia:"\ \ \ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ \ \ (a,\ b,\ c,\ d in C)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w(0),\ w(1)\ - \ "liczby nieparzyste"`

`"teza:"\ "wielomian"\ w\ "nie ma pierwiastków całkowitych"`

`"dowód:"`

`w(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d=a*0+b*0+c*0+d=d\ \ -\ \ "liczba nieparzysta"`

`w(1)=a*1^3+b*1^2+c*1+d=a+b+c+d\ \ \ -\ \ \ "liczba nieparzysta"`

 

Przypuśćmy, że wielomian w ma jednak pewien pierwiastek całkowity. Jeśli taki pierwiastek istnieje, to musi być on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli dzielnikiem liczby nieparzystej d. Wszystkie dzielniki liczby nieparzystej także są nieparzyste, a więc pierwiastek wielomianu w jest liczbą nieparzystą. Oznaczmy zatem ten pierwiastek jako 2k+1 (k - liczba całkowita).

Jeśli 2k+1 jest pierwiastkiem wielomianu, to wartość w(2k+1) powinna być równa 0. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest (skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz kwadrat sumy).

`w(2k+1)=a*(2k+1)^3+b*(2k+1)^2+c*(2k+1)+d=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a*((2k)^3+3*(2k)^2*1+3*2k*1^2+1^3)+b*((2k)^2+2*2k*1+1^2)+c*(2k+1)+d=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(8k^3+12k^2+6k+1)+b(4k^2+4k+1)+c(2k+1)+d=`

Uporządkujmy wielomian ze względu na k:

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8ak^3+(12a+4b)k+(6a+4b+2c)k+(a+b+c+d)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =ul(2*4ak^3+2*(6a+2b)k+2*(3a+2b+c)k)+(a+b+c+d)=`

Z podkreślonego wyrażenia wyciągamy 2 przed nawias: 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =#underbrace(#underbrace(2(4ak^3+(6a+2b)k+(3a+2b+c)k))_("liczba parzysta")+#underbrace((a+b+c+d))_("liczba nieparzysta"))_("liczba nieparzysta")`

Z założenia wiemy, że a+b+c+d jest liczbą nieparzystą, suma liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą. Otrzymaliśmy więc, że wartość w(2k+1) jest liczbą nieparzystą, co jest sprzecznością (bo przecież ta wartość miała być równa 0, a liczba 0 jest przecież parzysta).      

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Najmniejsza wspólna wielokrotność (nww)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest: 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...;
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.
  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest: 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...;
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6, widzimy że jest to 12.
Obwód

Obwód wielokąta to suma długości boków danego wielokąta.

  1. Obwód prostokąta – dodajemy długości dwóch dłuższych boków i dwóch krótszych.

    Zatem prostokąt o wymiarach a i b ma obwód równy:
    Obwód prostokąta: $$Ob = 2•a+ 2•b$$.

    Przykład: Policzmy obwód prostokąta, którego boki mają długości 6 cm i 8 cm.

    ob_kwadrat

    $$Ob=2•8cm+2•6cm=16cm+12cm=28cm$$
     

  2. Obwód kwadratu – dodajemy długości czterech identycznych boków, zatem wystarczy pomnożyć długość boku przez cztery.

    Zatem kwadrat o boku długości a ma obwód równy:
    Obwód kwadratu: $$Ob = 4•a$$.

    Przykład: Policzmy obwód kwadratu o boku długości 12 cm.

    ob_prostokat

    $$Ob=4•12cm=48cm$$

 
Zobacz także
Udostępnij zadanie