$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-1-3\right)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(9-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=\sqrt{4\cdot 26}=2\sqrt{26}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(9-3\right)}^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

$O=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|=4\sqrt{2}+2\sqrt{26}+6\sqrt{2}=2\sqrt{26}+10\sqrt{2}=\underline{\underline{2\left(\sqrt{26}+5\sqrt{2}\right)}}$ $O=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|=4\sqrt{2}+2\sqrt{26}+6\sqrt{2}=2\sqrt{26}+10\sqrt{2}=\underline{\underline{2\left(\sqrt{26}+5\sqrt{2}\right)}}$

Aby obliczyć pole, sprawdzamy który z boków jest przyprostokątną, gdyż pole trójkąta prostokątnego obliczamy jako połowę iloczynu przyprostokątnych.

$\sqrt{104}<\sqrt{72}<\sqrt{32}$

Przeciwprostokątną tego trójkąta prostokątnego jest bok BC

$P=\frac{1}{\sout{2}}\cdot \sout{4}\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=12\cdot 2=\underline{\underline{24}}$

 

Obliczamy współrzędne środków boków trójkąta ABC- współrzędne punktów D,E,F.

$D\left(\frac{-2+2}{2},\frac{3+\left(-1\right)}{2}\right)=D\left(0,1\right)$

$E\left(\frac{2+4}{2},\frac{-1+9}{2}\right)=E\left(3,4\right)$

$F\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3+9}{2}\right)=F\left(1,6\right)$

Obliczamy długości boków tego trójkąta:

$\left|DE\right|=\sqrt{{\left(0-3\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$

$\left|EF\right|=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(4-6\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

$\left|DF\right|=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(6-1\right)}^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

$O_{DEF}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{26}=\underline{\underline{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}}$

Udawadniamy, że trójkąt DEF powstały z połączenia środków boków trójkąta ABC również jest prostokątny. 

Przeciwprostokątną jest bok |DF| (jest najdłuższy)

${\left(\sqrt{8}\right)}^2+{\left(\sqrt{18}\right)}^2={\left(\sqrt{26}\right)}^2$

$8+18=26$

$P=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{3}{\sout{2}}\sqrt{2}\cdot \sout{2}\sqrt{2}=3\cdot 2=\underline{\underline{6}}$