$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

$\frac{\left|AC\right|}{8}=\sin {30}^{\circ }$  

$\left|AC\right|=8\cdot \frac{1}{2}$  

$\left|AC\right|=4$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\left|AB\right|}^2+4^2=8^2$

${\left|AB\right|}^2+16=64$  

${\left|AB\right|}^2=48$ $a=\sqrt{16\cdot 3}$

$\left|AB\right|=4\sqrt{3}$

 

Oznaczmy:

$\left|CF\right|=4-r$  

$\left|DB\right|=4\sqrt{3}-r$  

Zatem:

$\left|CE\right|=4-r$  

$\left|EB\right|=4\sqrt{3}-r$  

Zatem otrzymujemy:

$4-r+4\sqrt{3}-r=8$

$4+4\sqrt{3}-2r=8$

$4+4\sqrt{3}-8=2r$

$4\sqrt{3}-4=2r$       $/:2$

$r=2\sqrt{3}-2$

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AC\right|=6$  

Zatem oznaczmy:

$\left|AF\right|=r,\left|CF\right|=6-r$  

Wobec tego:

$\left|CE\right|=6-r$  

Wiemy, że krótsza przeciwprostokątna leży naprzeciwko mniejszego kąta, zatem:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

 

$\sin {30}^o=\frac{6}{\left|BC\right|}$

$\frac{1}{2}=\frac{6}{\left|BC\right|}$  

$\left|BC\right|=12$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$6^2+{\left|AB\right|}^2={12}^2$  

$36+{\left|AB\right|}^2=144$  

${\left|AB\right|}^2=108$  

$\left|AB\right|=\sqrt{108}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{36\cdot 3}$  

$\left|AB\right|=6\sqrt{3}$  

Zatem możemy oznaczyć:

$\left|AD\right|=r,\left|DB\right|=6\sqrt{3}-r$  

 

Zatem otrzymujemy: 

$\left|CE\right|+\left|EB\right|=12$  

$6-r+6\sqrt{3}-r=12$

$6+6\sqrt{3}-2r=12$

$6+6\sqrt{3}-12=2r$

$6\sqrt{3}-6=2r$      

$r=3\sqrt{3}-3$  

Zatem mamy:

$l=2\pi r$

$l=2\pi \cdot 3\left(\sqrt{3}-1\right)$  

$l=6\pi \left(\sqrt{3}-1\right)$