Matematyka

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm. 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm.

1
 Zadanie
2
 Zadanie

3
 Zadanie

4
 Zadanie

I sposób:

Obliczmy sobie najpierw przeciwprostokątną trójkąta ABC

`12^2+16^2=|BC|^2`

`400=|BC|^2`     `|BC|>0`

`|BC|=20cm`

Mając obliczony z Pitagorasa bok BC obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABC i ABD

`k=(|AB|)/(|BC|)`

`k=12/20=3/5`

Obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABC i ACD

`k=(|AC|)/(|BC|)`

`k=16/20=4/5`

Obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABD i ADC

`k=(|AB|)/(|AC|)`

`k=12/16=3/4`

 

Stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa

`a) \ k^2=(3/5)^2=9/25`

`b) \ k^2=(4/5)^2=16/25`

`c) \ k^2=(3/4)^2=9/16`

 

II sposób

Obliczmy sobie najpierw przeciwprostokątną trójkąta ABC

`12^2+16^2=|BC|^2`

`400=|BC|^2`     `|BC|>0`

`|BC|=20cm`

 

Trójkąty ABC i ABD mają wspólny kąt alfa, oprócz tego oba mają kąt prosty, dlatego ich ostatni kąt będzie miał taką samą miarę- oznaczmy go jako beta. 

Do obliczenia stosunków pól podanych trójkątó potrzebujemy długości boków: AD , BD i CD

Zgodnie z cechą kkk trójkąty ABC i ABD są podobne. 

Układamy proporcje wynikające z podobieństwa:

`(|AD|)/(|AB|)=(|AC|)/(|BC|)`

`(|AD|)/(12cm)=(16cm)/(20cm)`

`|AD|*20cm=12cm*16cm`

`|AD|=ul(9,6 cm)`

 

`(|BD|)/(|AB|)=(|AB|)/(|BC|)`

`(|BD|)/(12cm)=(12cm)/(20cm)`

`|BD|*20cm=12cm*12cm`

`|BD|=7,2cm`

 

`|CD|=|BC|-|BD|=20cm-7,2cm=12,8 cm`

 

Obliczamy pola trójkątów:

`P_(ABC)=1/2*16cm*12cm=96cm^2`

`P_(ADC)=1/2*9,6cm*7,2cm=34,56cm^2`

`P_(ABD)=1/2* 9,6cm*12,8cm=61,44cm^2`

 

a)

`P_(ABD)/P_(ABC)=(61,44cm^2)/(96cm^2)=0,64`

b)

`P_(ADC)/P_(ABC)=(34,56cm^2)/(96cm^2)=0,36`

c)

`P_(ABD)/P_(ADC)=(34,56cm^2)/(61,44cm^2)=0,5625`

 

 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka Pazdro. Podręcznik do liceum i technikum klasa 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Monika

6245

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Dodawanie i odejmowanie

Działania arytmetyczne to dwuargumentowe działania, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę, czyli tzw. wynik działania. Zaliczamy do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

  1. Dodawanie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b, liczbę c = a + b. Wynik dodawania nazywany jest sumą, a dodawane składnikami sumy.
     

    dodawanie liczb


    Składniki podczas dodawania można zamieniać miejscami, dlatego mówimy, że jest ono przemienne. Niekiedy łatwiej jest dodać dwa składniki, gdy skorzystamy z tej własności.
    Przykład: $$7 + 19 = 19 +7$$.

    Kiedy jednym ze składników sumy jest inna suma np. (4+8), to możemy zmienić położenie nawiasów (a nawet je pominąć), na przykład $$12 + (4 + 8) = (12 + 8) + 4 = 12 + 8 + 4$$
    Mówimy, że dodawanie jest łączne.

    Poniżej przedstawiamy przykład, gdy warto skorzystać z praw łączności i przemienności:
    $$12 + 3 + 11 + (7 + 8) + 9 = 12 + 8 +3 +7 + 11 + 9 = 20 + 10 + 20 = 50$$
     

  2. Odejmowanie
    Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę c, że a = b+ c.
    Przykład $$23 - 8 = 15$$, bo $$8 + 15 = 23$$.

    Odejmowane obiekty nazywane są odpowiednio odjemną i odjemnikiem, a wynik odejmowania różnicą.

    odejmowanie liczb

    Odejmowanie w przeciwieństwie do dodawania nie jest ani łączne, ani przemienne.
    np. $$15 - 7 ≠ 7 - 15$$ (gdzie symbol ≠ oznacza "nie równa się").
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie