Dane:

$n=2$

$k=4$

Szukane:

Jak zmieni się energia mechaniczna wahadła?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest odpowiedź, na pytanie, jak zmieni się energia mechaniczna wahadła matematycznego po zmianie takich parametrów jak długość wahadła i jego amplituda. 

Wahadło matematyczne drga wokół położenia równowagi zmieniając słoje położenie i szybkość, czyli energię potencjalną ciężkości i energię kinetyczną. Całkowita energia mechaniczna wahadła jest w każdym położeniu równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej oraz nie zmienia się samoistnie (jest stała zgodnie z zasadą zachowania energii).

Gdy kulka wahadła matematycznego znajduje się w położeniu równowagi to jej energia potencjalna jest zerowa, a energia kinetyczna ma maksymalną wartość i odpowiada całkowitej energii układu. Wówczas również kulka wahadła ma maksymalną wartość prędkości. Dlatego:

$E_c=E_{k.\max }$

gdzie:

$E_c$ - całkowita energia mechaniczna wahadła, 

$E_{k.\max }$ - maksymalna energia kinetyczna wahadła.   

Dla naszego przypadku mamy:

$E_{k.\max }=\frac{1}{2}m{v}_{\max }^2$

gdzie:

$v_{\text{max}}$ - maksymalna wartość prędkości kulki wahadła. 

Wówczas mamy:

$E_{k.\max }=\frac{1}{2}m{v}_{\max }^2$

$E_{k.\max }=\frac{1}{2}m{\left(A\omega \right)}^2$

$E_{k.\max }=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2$

Mamy wahadło matematyczne, nie znamy jego częstości drgań, ale znamy związek częstości z długością wahadła.

Oznacza to, że całkowitą energię mechaniczna wahadła matematycznego możemy przedstawić wzorem:

$E_c=E_{k.\max }$

$E_c=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2$

$E_c=\frac{1}{2}m{A}^2{\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\right)}^2$

$E_c=\frac{1}{2}m{A}^2\cdot \frac{g}{l}$

$E_c=\frac{mg{A}^2}{2l}$

Jeżeli długość wahadła zwiększymy $n$ razy, a amplitudę $k$ razy to otrzymamy następujące związki pomiędzy tymi wielkościami:

$l_1=nl$

$A_1=kA$

gdzie:

$l_1$ - długość wahadła po zwiększeniu jego długości, 

$l$ - początkowa długość wahadła, 

$n$ - mnożnik mówiący nam ile razy długość wahadła wzrosła, 

$A_1$ - amplituda po zmianie, 

$A$ - początkowa amplituda, 

$k$ - mnożnik mówiący ile razy amplituda wzrosła. 

Zatem po zmianie amplitudy i długości wahadła jego energia całkowita ma postać:

$E_{c1}=\frac{mg{A}_1^2}{2l_1}$

gdzie:

$E_{c1}$ - całkowita energia mechaniczna po zmianie amplitudy i jego długości. 

Jeżeli chcemy określić, jak zmieniła się energia mechaniczna wahadła musimy porównać energie przez i po zmianie parametrów. Wyznaczmy ich stosnek:

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{\frac{mg{A}_1^2}{2l_1}}{\frac{mg{A}^2}{2l}}$

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{\cancel{mg}{A}_1^2}{\cancel{2}{l}_1}\cdot \frac{\cancel{2}l}{\cancel{mg}{A}^2}$

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{A_1^{2}l}{A^2{l}_1}$

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{{\left(kA\right)}^2\xcancel{l}}{A^{2}n\xcancel{l}}$

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{k^2\xcancel{A^2}}{n\xcancel{A^2}}$

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{k^2}{n}$

Wykonajmy obliczenia:

$\frac{E_{c1}}{E_c}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8$