FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE

Czworokątem nazywamy wielokąt, która ma cztery boki i cztery kąty. Ważną cechą takiej figury jest suma kątów wewnętrznych, która wynosi 360^o.

Trapezy są czworokątami, które posiadają co najmniej jedną parę boków równoległych. Odległość pomiędzy trapezami nazywamy wysokością i oznaczamy ją jako .

Suma kątów przy ramionach jest równa 180^o:

Wzór na linię środkową trapezu, czyli linie łączącą środki ramion trapezu przyjmuję postać:

gdzie:

- krótsza podstawa trapezu,

- dłuższa podstawa trapezu.

Wzór na pole trapezu:

lub

gdzie:

- długość linii środkowej trapezu,

- krótsza podstawa trapezu,

- dłuższa podstawa trapezu.

Czworokąt, który posiada dwie pary boków równoległych nazywany jest równoległobokiem. W każdym równoległoboku:

dwie pary boków o takiej samej długości,
przeciwległe kąty są sobie równe,
przekątne przecinają się na połowy,
suma miar kolejnych dwóch kątów jest równa 180^o.

Pole równoległoboku:

gdzie:

- podstawa równoległoboku,

- wysokość równoległoboku, padająca na podstawę .

Czworokątem, który posiada dwie pary równoległych boków o takiej samej długości nazywamy rombem.

Pole rombu opisuje wzór:

gdzie:

- długość boku rombu,

- wysokość rombu.

W rombie przekątne rombu dzielą się na połowy oraz przecinają się pod kątem prostym. Pole rombu można wyznaczyć za pomocą jego przekątnych:

gdzie:

- pierwsza przekątna rombu,

- druga przekątna rombu.

Prostokąt - czworokąt o wszystkich kątach prostych oraz dwóch parach boków o takiej samej długości.

Pole prostokąta opisuje wzór:

gdzie:

- bok pierwszy prostokąta,

- bok drugi prostokąta.

Kwadrat - czworokąt o wszystkich kątach prostych oraz o wszystkich bokach takiej samej długości.

Wzór na przekątną kwadratu przyjmuję postać:

gdzie:

- bok kwadratu.

Pole kwadratu opisuje wzór:

lub

gdzie:

- bok kwadratu,

- przekątna kwadratu.

Trójkąt - wielokąt o trzech bokach, którego suma kątów wewnętrznych wynosi 180^o.

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie:

Pole trójkąta opisuje wzór:

gdzie:

- jeden z boków trójkąta,

- wysokość trójkąta padająca na bok .

Trójkąt równoboczny - trójkąt, który posiada wszystkie boki o takiej samej długości.

RYSUNEK Z TRÓJKĄTEM RÓWNOBOCZNYM

Każdy z kątów wewnętrznych w trójkącie równobocznym wynosi:

Pole trójkąta równobocznego opisuje wzór:

gdzie:

- długość boku trójkąta.

Trójkąt równoramienny - trójkąt, który ma co najmniej dwa boki takiej samej długości, które nazywane są ramionami.

RYSUNEK Z TRÓJKĄTEM RÓWNORAMIENNYM

Pole trójkąta opisuje wzór:

gdzie:

- podstawa trójkąta,

- wysokość trójkąta padająca na podstawę.

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym.

RYSUNEK Z TRÓJKĄTEM PROSTOKĄTNYM

Suma pozostałych kątów wynosi 90^o:

Poszczególne stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym można opisać za pomocą funkcji trygonometrycznych:

Pole trójkąta prostokątnego opisuje wzór:

gdzie:

- długość pierwszej z przyprostokątnych,

- długość drugiej z przyprostokątnych.

Najczęściej spotykanymi trójkątami prostokątnymi są:

RYSUNEK Z TRÓJKĄTEM PROSTOKĄTNYM

Poszczególne stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym można opisać za pomocą funkcji trygonometrycznych:

RYSUNEK Z TRÓJKĄTEM PROSTOKĄTNYM

Poszczególne stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym można opisać za pomocą funkcji trygonometrycznych:

Okrąg jest to zbiór punktów, które odległe są od punktu S (środka okręgu) o odległość , czyli promień okręgu.

Obwód okręgu opisuje wzór:

gdzie:

- długość promienia okręgu.

Koło - zbiór punktów w odległości równej lub mniejszej od (promień koła) od punktu S (środek koła).

Obwód koła opisuje wzór:

gdzie:

- promień koła.

Pole koła opisuje wzór:

gdzie:

- promień koła.

Łuk okręgu jest częścią okręgu wyznaczonego przez punkty A i B leżącą po jednej stronie siecznej.

Długość łuku wyrażony jest wzorem:

gdzie:

- promień okręgu,

- kąt środkowy.

Wycinek koła jest to częścią koła, która jest ograniczona przez łuk i ramiona kąta środkowego.

Wzór na pole wycinka koła przyjmuję postać:

gdzie:

- promień koła,

- kąt środkowy wycinka koła.

FIGURY PRZESTRZENNE

Graniastosłup prosty jest graniastosłupem o krawędziach bocznych prostopadłych do podstawy.

Pole powierzchni bocznej takiego graniastosłupa opisuje wzór:

gdzie:

- obwód podstawy graniastosłupa,

- wysokość graniastosłupa.

Objętość graniastosłupa prostego opisuje wzór:

gdzie:

- pole podstawy graniastosłupa,

- wysokość graniastosłupa.

Prostopadłościan jest graniastosłupem prostym, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami.

Pole podstawy prostopadłościany jest polem prostokąta:

gdzie:

- boki podstawy prostopadłościanu.

Pole boczne prostopadłościany opisuje wzór:

gdzie:

- boki prostopadłościanu.

Pole całkowite prostopadłościany opisuje wzór:

lub

gdzie:

- pole podstawy prostopadłościanu,

- pole boczne prostopadłościanu,

- boki prostopadłościanu.

Objętość prostopadłościanu opisywana jest za pomocą wzoru:

gdzie:

- boki prostopadłościanu.

Sześcian - prostopadłościan, którego wszystkie boki mają tą samą długość, czyli wszystkie ściany są kwadratami.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu opisuje wzór:

gdzie:

- długość krawędzi sześcianu.

Objętość sześcianu opisuje wzór:

gdzie:

- długość krawędzi sześcianu.

Ostrosłup - wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, natomiast ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.

Objętość ostrosłupa opisuje wzór:

gdzie:

- pole podstawy ostrosłupa,

- wysokość ostrosłupa.

Walec - bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej przechodzącej przez jeden z jego boków.

Pole podstawy walca opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy walca.

Pole boczne walca opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy walca,

- wysokość walca.

Pole całkowite walca opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy walca,

- wysokość walca.

Wzór na objętość walca przyjmuję postać:

gdzie:

- promień podstawy walca,

- wysokość walca.

Pole podstawy stożka opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy stożka.

Pole powierzchni bocznej stożka opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy stożka,

- długość tworzącej stożka.

Pole powierzchni całkowitej stożka opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy stożka,

- długość tworzącej stożka.

Objętość stożka opisuje wzór:

gdzie:

- promień podstawy stożka,

- wysokość stożka.

- zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, których odległość od punktu S (środka kuli) jest mniejsza lub równa (promień kuli).

Pole powierzchni całkowitej kuli opisuje wzór:

gdzie:

- promień kuli.

Objętość kuli opisuje wzór:

gdzie:

- promień kuli.

WEKTOR

Wektorem nazywamy parę uporządkowanych punktów. Możemy go rozumieć jako strzałkę, która jest wyznaczona przez dwa punkty: punkt początkowy oraz punkt końcowy . Wektor posiada 3 charakterystyczne cechy:

długość wektora,
kierunek, który określa prosta zawierająca wektor,
zwrot, określony przez główkę strzałki.

Wektor na osi jest zdefiniowany za pomocą dwóch punktów:

oraz

Wektor ten opisywany jest za pomocą jednej składowej:

Długość wektora o danych współrzędnych jest równa:

Wektor na płaszczyźnie

Wektor na płaszczyźnie zdefiniowany jest za pomocą dwóch punktów:

oraz

Wektor ten opisywany jest za pomocą dwóch składowych:

Długość wektora o danych współrzędnych opisuje wzór:

Suma wektorów

Jeżeli mamy dwa wektory o współrzędnych:

oraz

to dodanie tych dwóch wektorów spowoduje powstanie wektora o współrzędnych:

Graficznie posługujemy się metodą równoległoboków:

Suma wektorów

Jeżeli mamy dwa wektory o współrzędnych:

oraz

to dodanie tych dwóch wektorów spowoduje powstanie wektora o współrzędnych:

Graficznie posługujemy się metodą równoległoboków:

Odejmowanie wektorów

Różnicą dwóch wektorów: oraz jest wektor, który jest równy sumie wektora oraz wektora przeciwnego do wektora . Graficznie wygląda to następująco:

Jeżeli wektory oraz opisywane są za pomocą współrzędnych:

oraz

Wtedy różnica tych wektorów przyjmuję postać:

WIELKOŚCI WEKTOROWE I SKALARNE

Wielkość skalarna (skalar) jest wielkością liczbową. Przykładowe wielkości fizyczne, które są skalarem, czyli opisywane są za pomocą konkretnej liczny (liczby rzeczywistej, całkowitej itp.):

masa,
temperatura,
wartość prędkości (szybkość).

Wektor jest wielkością, która ma trzy cechy charakterystyczne:

długość wektora,
kierunek,
zwrot.

Różnica pomiędzy skalarem oraz wektorem jest taka, że działanie na skalarach jest proste. Załóżmy, że mamy dwie liczby: oraz . Suma tych liczb opisuję się za pomocą wyrażenia:

Natomiast różnica:

W przypadku wektorów różne działania np. dodawanie, odejmowanie itp. nie jest łatwo, ponieważ należy uwzględnić ich kierunek oraz zwrot. Przykładowo mamy dwa wektory:

oraz:

Suma tych wektorów opisywana jest wyrażeniem:

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest to liczba (skalar) równa iloczynowi długości dwóch wektorów oraz cosinusa kąta pomiędzy nimi:

gdzie:

- wektory,

- długość wektorów,

- kąt pomiędzy nimi.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest nowym wektorem:

Długość nowego wektora jest równa iloczynowi długości dwóch wektorów oraz sinusa kąta pomiędzy nimi:

gdzie:

- wektory,

- długości wektorów,

- kąt pomiędzy wektorami.

UKŁAD SI

Układ SI, czyli Międzynarodowy Układ Jednostek Miar jest to międzynarodowy, spójny i znormalizowany układ jednostek miar wszystkich wielkości fizycznych. Opiera się na siedmiu podstawowych jednostkach:

metr,
kilogram,
sekunda,
amper,
kelwin,
mol,
kandela

Jednostki podstawowe układu SI

Wielkość fizyczna	Jednostka	Symbol jednostki
długość, grubość, szerokość, wysokość, odległość	metr
mas	kilogram
czas	sekunda
temperatura	kelwin
liczność materii	mol
natężenie prądu elektrycznego	amper
światłość	kandela

Do wyrażania wielokrotności oraz podwielokrotności jednostek miar używa się przedrostków SI. Przykładowo używany jest mili (np. milimetr, czyli tysięczna część metra) lub giga (np. gigawatów, czyli miliard watów).

Przedrostki

Jednostka	Oznaczenie	Mnożnik	Mnożnik zapisany w notacji wykładniczej
piko
nano
mikro
mili
centy
decy
Jednostka
deka
hekto
kilo
mega
giga

Przykład użycia przedrostków

Jednostka	Oznaczenie	Mnożnik	Zależności
pikometr
nanometr
mikrometr
milimetr
centymetr
decymetr
metr			-
dekametr
hektometr
kilometr
megametr
gigametr

POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Pomiar nazywamy porównaniem mierzonej wielkości fizycznej ze wzorcem tej wielkości, czyli z przyjętą jednostką.

Nie istnieje pomiar idealnie dokładny. Każdy pomiar obarczony jest błędem związany m.in. z użytym przyrządem pomiarowym lub nieuwagą eksperymentatora wykonującego pomiar.

Niepewność pomiaru określa możliwe odchylenie wyniku przeprowadzonego pomiaru od wartości rzeczywistej. Przy wypisywaniu wyniku uwzględnia się niepewność pomiaru stosując zapis:

Ważną rzeczą w zapisywaniu wyników oraz niepewności jest fakt, że muszą one mieć taką samą liczbę cyfr znaczących oraz jednostkę.

Rozróżniamy dwie metody mierzenia wymiarów:

bezpośrednie np. pomiar długości długopisu wykonujemy bezpośrednio za pomocą linijki, czyli są to pomiary, które wykonywano są bezpośrednio na próbce za pomocą odpowiedniego przyrządu (w tym przypadku linijki),
pośrednie np. wyznaczenie powierzchni kartki opierając się na związku z długością oraz szerokością kartki.

Błąd bezwzględny - różnica pomiędzy wartością zmierzoną, a wartością rzeczywistą (dokładną).

gdzie:

- błąd bezwzględny,

- wielkość zmierzona,

- wielkość rzeczywista.

Błąd względny - stosunek błędu bezwzględnego do wielkości zmierzonej.

gdzie:

- błąd bezwzględny,

- wielkość zmierzona.

Czasami wyraża się błąd względny w procentach. Wzór przyjmuję wtedy postać:

Istnieją różne sposoby wyznaczenia niepewności pomiaru w zależności od tego czy metoda wykonywania pomiaru była bezpośrednia czy pośrednia. W przypadku wykonywania pośredniego pomiaru danej wielkości, przykładowo powierzchnia kartki, do wyznaczenie niepewności pomiaru stosuję się metodę najmniej korzystnego przypadku (NKP).

Do wyznaczania niepewności pomiaru w przypadku wykonania pomiarów pośrednich stosuję się metodę najmniej korzystnego przypadku (NKP).

W przypadku wykonania pomiaru powierzchni kartki wykorzystanie metody najmniej korzystnego przypadku do wyznaczenia niepewności pomiaru wygląda następująco. Za pomocą wybranego przyrządu (np. linijki) wykonujemy pomiar jednego boku kartki oraz drugiego boku kartki . Jednakże każdy z tych pomiarów obarczony jest niepewnością. W przypadku boku kartki niepewność wynosi , natomiast w przypadku boku kartki niepewność pomiaru wynosi . Na podstawie pomiarów wyznaczamy powierzchnię kartki zakładając, że jest ona prostokątem, czyli stosujemy wzór:

gdzie:

- długość pierwszego boku kartki,

- długość drugiego boku kartki.

Mamy wynik pomiaru, ale do wyznaczenia niepewności powierzchni kartki wykorzystamy metodę najmniej korzystnego przypadku. W tym celu wyliczamy najmniejszą możliwą wartość powierzchni:

gdzie:

- najmniejsza możliwa długość pierwszego boku kartki,

- najmniejsza możliwa długość drugiego boku kartki,

Analogicznie wyznaczamy największą możliwą wartość powierzchni kartki korzystając ze wzoru:

gdzie:

- największa możliwa długość pierwszego boku kartki,

- największa możliwa długość drugiego boku kartki.

Niepewność powierzchni kartki opisuje wzór:

Wzór ten związany jest z wykorzystaniem metody najmniej korzystnego przypadku (NKP).

PROPORCONALNOŚCI

W fizyce poznajemy różne zależności pomiędzy wielkościami fizycznym, jednakże możemy wyodrębnić dwa główne rodzaje:

wielkości wprost proporcjonalne,
wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Wielkości wprost proporcjonalne zapisuje się wzorem:

gdzie:

- stała wielkość, która nie zależy od ,

- wielkość fizyczna zależna wprost proporcjonalnie od .

Możemy zapisać to równanie w sposób opisowy:

Jeżeli wielkość jest wprost proporcjonalna do wielkości oznacza to, że jeżeli wielkość wzrośnie razy to wtedy również wzrośnie o razy.

Zależność wprost proporcjonalna jednej wielkości fizycznej od drugiej na wykresie przedstawiona jest jako linia prosta.

Przykładem zależności wprost proporcjonalnej jednej wielkości fizycznej od drugiej jest droga w ruchu jednostajnie prostoliniowy:

gdzie:

- droga jaką przebyło ciało,

- wartość prędkości z jaką porusza się ciało,

- czas ruchu.

W ruchu jednostajnie prostoliniowym wartość prędkości z jaką porusza się ciało jest stała:

Zatem droga jaką przebędzie ciała jest wprost proporcjonalna do czasu:

Rozumiemy to w ten sposób, że wraz ze zwiększającym się upływem czasu zwiększa się w taki sam sposób droga jaką przebędzie ciało.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne zapisuje się wzorem:

gdzie:

- stała wielkość, która nie zależy od ,

- wielkość fizyczna zależna odwrotnie proporcjonalnie do .

Możemy zapisać to równanie w sposób opisowy:

Jeżeli wielkość jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości oznacza to, że jeżeli wielkość wzrośnie razy to wtedy wielkość zmaleje o razy.

Zależność odwrotnie proporcjonalna jednej wielkości fizycznej od drugiej na wykresie przedstawiona jest jako hiperbola.

Przykładem zależności odwrotnie proporcjonalnej jednej wielkości fizycznej od drugiej jest zależność szybkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym:

gdzie:

- droga jaką przebyło ciało,

- wartość prędkości z jaką porusza się ciało,

- czas ruchu.

Widzimy, że wartość prędkości jest odwrotnie proporcjonalna do czasu. Zatem, zakładając, że droga jaką pokonuje ciało jest taka sama to jeżeli czas w jakim ciało pokona tą trasę się zmniejszy to szybkość z jaką się porusza zwiększy się i odwrotnie, czyli jeżeli wartość prędkości się zmniejszy to czas przebycia danej drogi się zwiększy.