Dane:

$m=5\text{kg}$  

$l=1,5\text{m}$  

$\alpha =60^{\circ }$  

$F_c=450\text{N}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie z jaką szybkością Basia wskoczyła na huśtawkę, jeżeli potem dziewczynka odchyliła się o podany kąt. Znamy masę huśtawki, długość lin, na których była zawieszona, kąt o jaki się odchyliła oraz ciężar Basi. Aby wyznaczyć szukaną wielkość musimy rozważyć pędy elementów układu oraz energie w układzie.

Zauważmy, że my szukamy szybkości, z jaką Basia wskoczyła na huśtawkę, a nie szybkości, z jaką Basia i huśtawka zaczęły się poruszać. Początkową sytuację możemy przedstawić na rysunku pomocniczym:

gdzie:

$\vec{v}$ - prędkość z jaką biegnie Basia i wskoczy na huśtawkę (szukana), 

${\vec{F}}_c$ - ciężar Basi, 

$m$ - masa huśtawki, 

$l$ - długości lin, na których zawieszona jest huśtawka.

Zauważmy, że w tej sytuacji huśtawka jest nieruchoma, a porusza się tylko dziewczynka. Następnie Basia wskakuje na nią:

gdzie:

${\vec{v}}_h$ - prędkość Basi wraz z huśtawką po wskoczeniu na nią, 

$M$ - masa Basi.

Znając ciężar Basi jej masę możemy przedstawić za pomocą zależności:

$F_c=Mg$

gdzie:

$F_c$ - wartość ciężaru Basi, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Zatem masę Basi przedstawimy wzorem:

$Mg=F_c|:g$

$M=\frac{F_c}{g}$

Rozważmy początkowy pęd elementów układu. Na początku huśtawka była nieruchoma, czyli jej pęd miał wartość:

$p_{h.0}=0$

gdzie:

$p_{h.0}$ - wartość początkowa pędu huśtawki. 

Basia biegnie w stronę huśtawki, czyli jej pęd przedstawimy wzorem:

$p_{B.0}=Mv$

gdzie: 

$p_{B.0}$ - wartość początkowego pędu Basi, 

$v$ - wartość prędkości Basi. 

Następnie Basia wskakuje na huśtawkę. Wówczas porusza się ona już wraz z tą huśtawką. Pęd huśtawki, gdy znajduje się na niej Basia będzie miał wartość:

$p_h=m{v}_h$

gdzie:

$p_h$ - wartość pędu huśtawki po wskoczeniu na nią dziewczynki, 

$v_h$ - wartość prędkości huśtawki wraz z Basią.

Pęd Basi znajdującej się na huśtawce po skoku będzie miał postać:

$p_B=M{v}_h$

gdzie:

$p_B$ - wartość pędu Basi na huśtawce, 

$v_h$ - wartość prędkości Basi na huśtawce (taka sama jak huśtawki). 

Zgodnie z zasadą zachowania pędu otrzymamy z powyższych zależności równanie, w którym będziemy mieli dwie niewiadome. Pierwsza to szukana wartość prędkości, z jaką Basia wskoczyła na huśtawkę, a druga to prędkość Basi wraz z huśtawką. Z treści zadania wiemy również, że huśtawka wraz z dziewczynką odchyliła się o pewien znany kąt. Zatem rozważając energie dziewczynki i huśtawki nad podłożem otrzymamy z zasady zachowania energii kolejne równanie. W takim wypadku zapiszmy najpierw równanie wynikające z pędów i wyznaczmy z niego wartość prędkości dziewczynki wraz z huśtawką:

$p_h+p_B=p_{h.0}+p_{B.0}$

$m{v}_h+M{v}_h=0+Mv$

$\left(m+M\right)v_h=Mv|:\left(m+M\right)$

$v_h=\frac{M}{m+M}v$

$v_h=\frac{\frac{F_c}{g}}{m+\frac{F_c}{g}}v$

$v_h=\frac{\cancel{\frac{1}{g}}{F}_c}{\cancel{\frac{1}{g}}\left(mg+F_c\right)}v$

$v_h=\frac{F_c}{mg+F_c}v$

W następnym kroku rozważymy energie układu. Możemy wówczas wykonać następujący rysunek pomocniczy:

gdzie:

$\alpha$ - kąt, o jaki odchyliła się huśtawka, 

$h$ - wysokość, na jaką wzniosła się huśtawka, 

$E_{k.0}$ - energia kinetyczna dziewczynki wraz z huśtawką w pionowym położeniu, 

$E_{p.0}$ - energia potencjalna Basi wraz z huśtawką w pionowym położeniu, 

$E_k$ - energia kinetyczna huśtawki wraz z Basią po odchyleniu się o podany kąt, 

$E_p$ - energia potencjalna huśtawki wraz z dziewczynką po odchyleniu się o podany kąt. 

Energie potencjalne określamy względem poziomu, na którym początkowo znajdowała się huśtawka. Początkowa energia potencjalna huśtawki będzie zerowa, ponieważ znajduje się ona w położeniu przyjętym za poziom podstawowy:

$E_{p.0}=0$

Wówczas huśtawka wraz z dziewczynką mają szybkość $v_h$, czyli energia kinetyczna układu wówczas wynosi:

$E_{k.0}=\frac{1}{2}\left(m+M\right)v_h^2$

Następnie huśtawka wraz z Basią odchyla się o podany kąt. Z rysunku pomocniczego możemy zauważyć, że wysokość huśtawki nad jej początkowym poziomem ma wówczas postać:

$\cos \alpha =\frac{l-h}{l}|\cdot l$

$l\cos \alpha =l-h|+h$

$h+l\cos \alpha =l|-l\cos \alpha$

$h=l-l\cos \alpha$

$h=l\left(1-\cos \alpha \right)$

Zatem energia potencjalna na tej wysokości ma postać:

$E_p=\left(m+M\right)gh$

$E_p=\left(m+M\right)gl\left(1-\cos \alpha \right)$

Huśtawka wraz z dziewczynką zatrzymują się na tej wysokości, dlatego jej energia kinetyczna jest zerowa:

$E_k=0$

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymamy wówczas równanie, z którego wyznaczymy szybkość, z jaką Basia wskoczyła na huśtawkę:

$E_{p.0}+E_{k.0}=E_p+E_k$

$0+\frac{1}{2}\left(m+M\right)v_h^2=\left(m+M\right)gl\left(1-\cos \alpha \right)+0$

$\frac{1}{2}\cancel{\left(m+M\right)}{\left(\frac{F_c}{mg+F_c}v\right)}^2=\cancel{\left(m+M\right)}gl\left(1-\cos \alpha \right)|\cdot 2$

$\frac{F_c^2}{{\left(mg+F_c\right)}^2}{v}^2=2gl\left(1-\cos \alpha \right)|\cdot {\left(mg+F_c\right)}^2$

$F_c^2{v}^2=2{\left(mg+F_c\right)}^{2}gl\left(1-\cos \alpha \right)|:F_c^2$

$v^2=\frac{2{\left(mg+F_c\right)}^{2}gl\left(1-\cos \alpha \right)}{F_c^2}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{2{\left(mg+F_c\right)}^{2}gl\left(1-\cos \alpha \right)}{F_c^2}}$

$v=\frac{mg+F_c}{F_c}\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{5\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+450\text{N}}{450\text{N}}\cdot \sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,5\text{m}\cdot \left(1-\cos 60^{\circ }\right)}=$

$=\frac{49,05\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+450\text{N}}{450\text{N}}\cdot \sqrt{29,43\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1-0,5\right)}=$

$=\frac{49,05\text{N}+450\text{N}}{450\text{N}}\cdot \sqrt{29,43\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5}=$

$=\frac{499,05\text{N}}{450\text{N}}\cdot \sqrt{14,715\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 1,109\cdot 3,836\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=4,254124\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 4,3\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Basia wskoczyła na huśtawkę z szybkością 4,3 m/s.